Álgebra

Para los usos matemáticos de la palabra álgebra como estructura algebraica, véase álgebra no asociativa, álgebra asociativa, álgebra sobre un cuerpo.

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

La palabra «álgebra» es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe كتاب الجبر والمقابلة) (que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) جبر (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Álgebra elemental

Álgebra elemental es la forma más básica del álgebra. A diferencia de la aritmética, en donde solo se usan los números y sus operaciones aritméticas (como +, −, ×, ÷), en álgebra los números son representados por símbolos (usualmente a, b, x, y). Esto es útil porque:

• Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de los números reales.
• Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el estudio de cómo resolverlas.
• Permite la formulación de relaciones funcionales.

Historia

Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe (al-Jabr, الجبر), sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, [1] que han desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema son capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos de una clase de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones lineales e indefinida. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griego y chino matemáticos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolverse tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como las descritas en la matemática Rhind Papyrus, Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y El Nueve capítulos sobre el Arte de Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, tipificados en los elementos, siempre que el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones.

El héroe griego matemáticos de Alejandría y Diophantus [2] siguió las tradiciones de Egipto y Babilonia, pero Diophantus del libro Arithmetica está en un nivel mucho más alto. [3] Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollado métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación. Aunque los babilonios y Diophantus utilizado sobre todo los métodos especiales ad hoc para resolver ecuaciones, Al-Khowarazmi fue el primero en resolver ecuaciones usando métodos generales. Él resolvió el indeterminado ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones indeterminadas de segundo orden y ecuaciones con múltiples variables.

La palabra "álgebra" es el nombre de la palabra árabe "Al-Jabr, الجبر" en el título del libro al-Kitab al-muḫtaṣar fi al-Gabr ḥisāb wa-l-muqābala, الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة, en el sentido de la Resumen del libro se refiere a la transposición y Cálculo de la Reducción de un libro escrito por el matemático persa islámico, Muhammad ibn Musa Al-Khwārizmī (considerado el "padre del álgebra"), en 820. La palabra Al-Jabr significa "reunión". El matemático helenístico Diophantus ha sido tradicionalmente conocido como el "padre del álgebra", pero en tiempos más recientes, hay mucho debate sobre si al-Khwarizmi, que fundó la disciplina de Al-Jabr, título que se merece su lugar. [4] Los que apoyan Diophantus apuntan al hecho de que el álgebra se encuentran en Al-Jabr es algo más elemental que se encuentra en el álgebra Arithmetica y que es Arithmetica sincopados mientras que Al-Jabr es totalmente retórica. [5] Los que apoyan el punto de Al-Khwarizmi sobre el hecho de que presenta los métodos de "reducción" y "equilibrio" (la transposición de términos restará al otro lado de una ecuación, es decir, la cancelación de términos como a ambos lados de la ecuación), que el término Al-Jabr se refería originalmente a [6], y que dio una explicación exhaustiva de la solución de ecuaciones cuadráticas, [7], apoyada por las pruebas geométricas, mientras que el tratamiento de álgebra como una disciplina independiente en su propio derecho. [8] Su álgebra era también ya no se trate "con una serie de los problemas por resolver, pero una exposición que empieza con lo primitivo en el que las combinaciones deben dar todos los posibles prototipos de ecuaciones, que en adelante explícitamente constituyen el verdadero objeto de estudio. " También estudió una ecuación para su propio bien y "de forma genérica, en la medida que no sólo surgen en el curso de la solución de un problema, pero es específicamente en la llamada para definir una infinidad de problemas de clase" [9].

El matemático persa Omar Khayyam desarrollado la geometría algebraica y encontrar la solución geométrica de la ecuación cúbica. Otro matemático persa, Sharaf Al-Din al-Tusi, numérica y algebraica encontrado la solución a diversos casos de ecuaciones cúbicas. [10] Él también desarrolló el concepto de una función. [11] La India matemáticos Mahavira y Bhaskara II, el matemático persa Al-Karaji, [12] y el matemático chino Zhu Shijie, resuelto varios casos de cúbicos, quartic, quintic y de orden superior ecuaciones polinómicas mediante métodos numéricos.

Otro acontecimiento clave en el desarrollo del álgebra fue la solución algebraica de las ecuaciones cúbicas y quárticas, desarrollado a mediados del siglo XVI. La idea de un factor determinante fue desarrollada por el matemático japonés Kowa Seki en el siglo XVII, seguido por Gottfried Leibniz diez años más tarde, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas utilizando matrices. Gabriel Cramer también hizo un trabajo sobre matrices y determinantes en el siglo XVIII. Resumen de álgebra se desarrolló en el siglo XIX, centrándose inicialmente en lo que ahora se llama la teoría de Galois, y en cuestiones de constructibilidad.

Estructura algebraica

En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica. Las estructuras algebraicas más importantes son:

• Semigrupo
• Monoide
• Grupo
• Anillo
• Cuerpo
• Módulo
• Espacio vectorial
• Álgebra

Signos y símbolos

En el álgebra se utilizan signos y símbolos -en general utilizados en la teoría de conjuntos- que constituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esa misma letra en otros problemas y su valor va variando.

Aquí algunos ejemplos:

Signos y Símbolos
Expresión	Uso
+	Además de expresar adición, también es usada para expresar operaciones binarias
c ó k	Expresan Términos constantes
Primeras letras del abecedario a,b,c,...	Se utilizan para expresar cantidades conocidas
Últimas letras del abecedario ...,x,y,z	Se utilizan para expresar incógnitas
n	Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n)
Exponentes y subíndices $a',a'',a''';a_{1},a_{2},a_{3}\!$	Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud.

Véase también

• Portal:Álgebra. Contenido relacionado con Álgebra.
• Álgebra elemental
• Teorema fundamental del álgebra

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Álgebra.
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Álgebra.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre álgebra.
• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Álgebra.