Eliminación de denominadores

En matemáticas, el método de eliminación de denominadores, también llamado de simplificación de fracciones, es una técnica para simplificar una ecuación equiparando dos expresiones que son cada una una suma de funciones racionales, que incluyen fracciones simples.​

Ejemplo

Considérese la ecuación

${\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.$

El mínimo común múltiplo de los dos denominadores 6 y 15z es 30z. Entonces, se multiplican ambos lados por 30z:

$5xz+2y=30z.\,$

El resultado es una ecuación sin fracciones.

La ecuación simplificada no es totalmente equivalente a la original. Porque cuando se sustituye y= 0 y z= 0 en la última ecuación, ambos lados se simplifican a 0, por lo que se obtiene 0 = 0, una verdad matemática. Pero la misma sustitución aplicada a la ecuación original da como resultado x/6 + 0/0= 1, que es matemáticamente carente de sentido.

Descripción

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que un miembro de la ecuación es 0, ya que una ecuación E₁= E₂ se puede reescribir de manera equivalente en la forma E₁ − E₂= 0.

Así que la ecuación tiene la forma

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.$

El primer paso es determinar un denominador común D de estas fracciones, preferiblemente el mínimo común denominador, que es el mínimo común múltiplo de Q_i.

Esto significa que cada Q_i es un factor de D, y entonces D= R_iQ_i para alguna expresión R_i que no sea una fracción. Luego

${\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,$

siempre que R_iQ_i no asuma el valor 0, en cuyo caso también D es igual a 0.

Entonces se tiene que

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.$

Siempre que D no asuma el valor 0, la última ecuación es equivalente a

$\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,$

en el que los denominadores han desaparecido.

Como se muestra en las condiciones, se debe tener cuidado de no introducir ceros de D (vistos como funciones de los valores desconocidos de la ecuación), como soluciones espurias.

Ejemplo 2

Considérese la ecuación

${\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.$

El mínimo común denominador es x(x + 1)(x + 2).

Seguir el método descrito anteriormente da como resultado

$(x+2)+(x+1)-x=0.$

Simplificando la expresión todavía más se genera la solución x= −3.

Se comprueba fácilmente que ninguno de los ceros de x(x + 1)(x + 2), a saber, x= 0, x= −1 y x= −2, es una solución de la ecuación final, por lo que no se introdujeron soluciones falsas.

Bibliografía

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Algebra: Beginning and Intermediate (3 edición). Cengage Learning. p. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.