Forma indeterminada

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En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:

.

Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real.

Interpretación[editar]

El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite

Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.

Cociente indeterminado[editar]

La forma 0/0[editar]

Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada.

Ejemplos:

La forma ∞/∞[editar]

Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros.

Ejemplos:

Producto indeterminado[editar]

La forma indeterminada 0 • ∞


Diferencia indeterminada[editar]

En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.

Potencia indeterminada[editar]

  • La forma 00
  • La forma ∞0
  • La forma 1

Ejemplo: el siguiente límite[1]

, es de la forma ; considerando

y tomando logaritmos en ambos miembros resulta

aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene
de manera que el límite sería

Tabla de formas indeterminadas[editar]

La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital.

Forma indeterminada Condiciones Transformación a 0/0 Transformación a ∞/∞

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Kong, Maynard, Cálculo Diferencial, ISBN 9972-42-194-5, pg. 384