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En matemática , se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
0
0
∞
∞
0
⋅
∞
1
∞
0
0
∞
0
+
∞
−
∞
{\displaystyle {\frac {0}{0}}\qquad {\frac {\infty }{\infty }}\qquad 0\cdot \infty \qquad 1^{\infty }\qquad 0^{0}\qquad \infty ^{0}\qquad +\infty -\infty }
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real .
Interpretación [ editar ] El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}}
Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g .
Cociente indeterminado [ editar ] La forma 0/0 [ editar ] Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0 . Cuando x se acerca a 0, las razones x /x 3 , x /x , y x 2 /x se van a
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
∞
{\displaystyle \scriptstyle \infty }
lim
x
→
0
sin
(
x
)
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
lim
x
→
0
x
2
x
=
0
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}={\cfrac {0}{0}}}
La forma ∞/∞ [ editar ] Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria , por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo ∞/∞ . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización , derivación , el teorema del emparedado , entre otros.
Ejemplos:
lim
x
→
+
∞
e
x
x
=
+
∞
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}
lim
x
→
+
∞
x
ln
(
x
)
=
+
∞
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}={\frac {+\infty }{+\infty }}}
Producto indeterminado [ editar ] La forma indeterminada 0 • ∞
lim
x
→
0
+
x
⋅
ln
x
=
0
⋅
(
−
∞
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0\cdot (-\infty )}
lim
x
→
π
2
cos
x
⋅
tan
x
=
0
⋅
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {\pi }{2}}}\cos x\cdot \tan x=0\cdot \infty }
Diferencia indeterminada [ editar ] En los casos en que el límite de una diferencia es
∞
{\displaystyle \infty }
regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo
∞
−
∞
{\displaystyle \infty -\infty }
. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados .
Potencia indeterminada [ editar ]
lim
x
→
0
+
x
x
=
lim
x
→
0
+
e
ln
x
x
=
lim
x
→
0
+
e
x
ln
x
=
e
lim
x
→
0
+
(
x
ln
x
)
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{\ln x^{x}}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\ln x}=e^{\lim _{x\to 0^{+}}(x\ln x)}.}
Ejemplo: el siguiente límite[ 1]
lim
x
→
0
+
x
(
3
4
+
ln
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
y
=
x
(
3
4
+
ln
x
)
{\displaystyle y=x^{\left({\frac {3}{4+\ln x}}\right)}}
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
ln
y
=
3
4
+
ln
x
ln
x
{\displaystyle \ln y={\frac {3}{4+\ln x}}\ln x}
regla de l'Hôpital , se obtiene
ln
y
=
3
⋅
1
/
x
1
/
x
=
3
{\displaystyle \ln y=3\cdot {\frac {1/x}{1/x}}=3}
lim
x
→
0
+
y
=
e
3
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}y=e^{3}}
Tabla de formas indeterminadas [ editar ] La siguiente tabla contiene las formas indeterminadas y las transformaciones bajo la regla de l'Hôpital .
Forma indeterminada
Condiciones
Transformación a 0/0
Transformación a ∞/∞
0
0
{\displaystyle {\frac {0}{0}}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
—
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
∞
∞
{\displaystyle \infty \over \infty }
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}
—
0
⋅
∞
{\displaystyle \qquad 0\cdot \infty }
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}
1
∞
{\displaystyle \qquad 1^{\infty }}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
1
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
0
0
{\displaystyle \qquad 0^{0}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
0
+
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
∞
0
{\displaystyle \infty ^{0}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
g
(
x
)
1
/
ln
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
exp
lim
x
→
c
ln
f
(
x
)
1
/
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}
+
∞
−
∞
{\displaystyle \qquad +\infty -\infty }
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
∞
,
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
lim
x
→
c
1
/
g
(
x
)
−
1
/
f
(
x
)
1
/
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}
lim
x
→
c
(
f
(
x
)
−
g
(
x
)
)
=
ln
lim
x
→
c
e
f
(
x
)
e
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}
Véase también [ editar ] Referencias [ editar ] 
Datos: Q115089