Demostración de la irracionalidad de e

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En matemáticas, la identidad como serie del número e

puede ser usado para probar que e es un número irracional. De las tantas representaciones posibles de e, esta es la serie de Taylor para la función exponencial ey evaluada en y = 1.

Demostración[editar]

Esta es una prueba por contradicción. Inicialmente se supone que e es un número racional de la forma a/b.

Se define el número

Notar que x es un entero, se sustituye e = a/b en esta definición para obtener

El primer término es un entero, y cada fracción en la suma es un entero ya que nb para cada término. Por lo tanto, x es un entero.

Ahora probaremos que 0 < x < 1. Primero, insertamos la serie que representa al numero e esto es , en la definición de x para obtener

Para todos los términos con nb + 1 tenemos el estimado superior

el cual es estricto aún para cada nb + 2. Cambiando el índice de la sumatoria a k = nb y usando la fórmula para la serie geométrica infinita, obtenemos

Como no hay un entero entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, y por lo tanto, e debe ser irracional.

Véase también[editar]