Conjunto de soluciones (matemáticas)

En matemáticas un conjunto de soluciones es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación, una inecuación, un sistema de ecuaciones, o uno de inecuaciones. Es un subconjunto de los valores «permitidos» a las incógnitas.​

El conjunto de soluciones puede tener un solo elemento, varios (incluso infinitos, por ejemplo en una identidad) o ninguno (el conjunto vacío).

Definición

Dada una aplicación $f:A\to B$, la expresión $f(x)=b$ determina una ecuación, en tanto consideremos a x como una indeterminada que pertenece al conjunto A.

El conjunto solución o conjunto de soluciones de una ecuación es la imagen inversa de b a través de f.

El conjunto solución está constituido por todos los $a\in A$ determinados que cumplen la ecuación, es decir, aquellos para los cuales $f(a)=b$.

De modo análogo puede definirse el conjunto solución para las inecuaciones, pero sólo bajo ciertas condiciones. Si ${\mathcal {S}}$ denota al conjunto de soluciones de la ecuación $f(x)=b$, la inecuación $f(x)\neq b$ tiene como solución a ${\overline {\mathcal {S}}}$, es decir, el complemento de ${\mathcal {S}}$.

Para otros tipos de desigualdades, como las relaciones < o >, se requiere que A y B sean conjuntos parcialmente ordenados con una relación de orden equivalente. Así, si ${\mathcal {R}}$ representa una relación de este tipo, la solución de $f(x){\mathcal {R}}b$ está constituida por los elementos de A que cumplen esa relación.

Ejemplos

• Para $x\in \mathbb {R}$, $x+4=7$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\{3\}$ (tiene una solución).
• Para $x\in \mathbb {R}$, $x^{2}=-1$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\varnothing$ (no tiene soluciones).
• Para $x\in \mathbb {C}$, $x^{2}=-1$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\{-i,i\}$ (tiene dos soluciones).
• Para $x\in \mathbb {R}$, $x^{2}\leq 9$ tiene por conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=[-3,3]$ (un intervalo).
• Para $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$, la ecuación en dos variables $\textstyle {\frac {1-3y}{x-2y}}={\frac {2x}{2y-x}}+1$ tiene como conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\{(t,t+1):t\neq -2\land t\in \mathbb {R} \}$, que geométricamente puede representarse como una recta en el plano euclídeo,​ con un «agujero» en el punto $(-2,-1)$. Este problema aparece porque $2y-x=0$ es una expresión que conduce a una división por cero en la ecuación.
• Para f una función real que cumple $f(1)=4$, la ecuación diferencial ordinaria $3f(x)-xf'(x)=0$ tiene como conjunto de soluciones ${\mathcal {S}}=\left\{4x^{3}\right\}$.