Conjunto de soluciones (matemáticas)

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En matemáticas un conjunto de soluciones es el conjunto de valores que satisfacen una ecuación, una inecuación, un sistema de ecuaciones, o uno de inecuaciones. Es un subconjunto de los valores «permitidos» a las incógnitas.[1]

El conjunto de soluciones puede tener un solo elemento, varios (incluso infinitos, por ejemplo en una identidad) o ninguno (el conjunto vacío).

Definición

Dada una aplicación , la expresión determina una ecuación, en tanto consideremos a x como una indeterminada que pertenece al conjunto A.

El conjunto solución o conjunto de soluciones de una ecuación es la imagen inversa de b a través de f.

El conjunto solución está constituido por todos los determinados que cumplen la ecuación, es decir, aquellos para los cuales .

De modo análogo puede definirse el conjunto solución para las inecuaciones, pero sólo bajo ciertas condiciones. Si denota al conjunto de soluciones de la ecuación , la inecuación tiene como solución a , es decir, el complemento de .

Para otros tipos de desigualdades, como las relaciones < o >, se requiere que A y B sean conjuntos parcialmente ordenados con una relación de orden equivalente. Así, si representa una relación de este tipo, la solución de está constituida por los elementos de A que cumplen esa relación.

Ejemplos

  • Para , tiene por conjunto de soluciones (tiene una solución).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (no tiene soluciones).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (tiene dos soluciones).
  • Para , tiene por conjunto de soluciones (un intervalo).
  • Para , la ecuación en dos variables tiene como conjunto de soluciones , que geométricamente puede representarse como una recta en el plano euclídeo,[2]​ con un «agujero» en el punto . Este problema aparece porque es una expresión que conduce a una división por cero en la ecuación.
  • Para f una función real que cumple , la ecuación diferencial ordinaria tiene como conjunto de soluciones .

Referencias

  1. Aponte, Gladys (1 de enero de 1998). Fundamentos de matemáticas básicas (1ª edición). México: Pearson Educación. p. 128. ISBN 9789684442818. 
  2. Claudia Neuhauser (2004). Matemáticas para ciencias (2ª edición). Pearson educación. p. 597. ISBN 9788420542539.