Función de densidad de probabilidad

En la teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua describe la probabilidad relativa según la cual dicha variable aleatoria tomará determinado valor.
La probabilidad de que la variable aleatoria caiga en una región específica del espacio de posibilidades estará dada por la integral de la densidad de esta variable entre uno y otro límite de dicha región.
La función de densidad de probabilidad (FDP o PDF en inglés) es positiva a lo largo de todo su dominio y su integral sobre todo el espacio es de valor unitario.

Definición

Una función de densidad de probabilidad caracteriza el comportamiento probable de una población en tanto especifica la posibilidad relativa de que una variable aleatoria continua X tome un valor cercano a x.

Una variable aleatoria X tiene densidad f, siendo f una función no-negativa integrable de Lebesgue, si:

\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.

Por lo tanto, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u,

y (si f es continua en x)

f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x).

Intuitivamente, puede considerarse f(x) dx como la probabilidad de X de caer en el intervalo infinitesimal [x, x + dx].

Se define como el cociente entre la probabilidad de X de tomar un valor en el intervalo [x, x + dx] y dx, siendo dx un infinitésimo.
La mayoría de las funciones de densidad de probabilidad requieren uno o más parámetros para especificarlas totalmente.
Recíprocamente respecto de la definición ya desarrollada, pueden hacerse las siguientes consideraciones.
La probabilidad de que una variable aleatoria continua X quede ubicada entre los valores a y b está dada por el desenvolvimiento en el intervalo de la FDP; de los valores comprendidos en el rango entre a y b.

\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.

La FDP es la derivada (cuando existe) de la función de distribución:

f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x).

Así, si F es la función de distribución acumulativa de X, entonces:

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u,

y (si f es continua en x)

f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x).

Descripción Intuitiva-Práctica

En situaciones prácticas, la FDP utilizada se elige entre un número relativamente pequeño de FDP comunes, y la labor estadística principal consiste en estimar sus parámetros.
Por lo tanto, a los efectos del registro, es necesario saber qué FDP se ha utilizado e indicarlo en la documentación de evaluación de la incertidumbre.

La definición formal de la función de densidad requiere de conceptos de la teoría de la medida.
Si una variable aleatoria X sigue una función de probabilidad X_*P su densidad con respecto a una medida de referencia μ es la derivada de Radon–Nikodym

$f={\frac {\mathrm {d} X_{*}\operatorname {P} }{\mathrm {d} \mu }}.$

Una variable aleatoria continua X con valores en un espacio de medida $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ (habitualmente Rⁿ con conjuntos Borel como subconjuntos mesurables), tiene como distribución de probabilidad, la medida X_∗P en $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ : la densidad de X con respecto a la medida de referencia μ sobre $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})$ es la derivada de Radon–Nikodym.

f={\frac {\mathrm {d} X_{*}P}{\mathrm {d} \mu }}.

Siendo f/; toda función medible con la siguiente propiedad:

\Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,\mathrm {d} P=\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu

para todo conjunto medible $A\in {\mathcal {A}}$ .

Es decir, ƒ es una función con la propiedad de que...

$\mathrm {P} [X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,\mathrm {d} \operatorname {P} =\int _{A}f\,\mathrm {d} \mu$; ...para cada conjunto medible A.

Funciones de Distribución de Probabilidad

A diferencia de la probabilidad, una fdp puede tomar valores mayores que uno. Por ejemplo, la distribución uniforme continua en el intervalo [0, ½] tiene una densidad de probabilidad f(x) = 2 para 0 ≤ x ≤ ½ y f(x) = 0 fuera de tal intervalo.

Hay que advertir que la función de densidad no es propiamente única: dos funciones distintas pueden representar la misma distribución de probabilidad si sólo difieren en un conjunto de medida nulo.

Además, puede haber distribuciones de probabilidad que carezcan de función de densidad.
Esto ocurre cuando, sin ser discretas, no le asignan probabilidad positiva a algunos puntos individuales presentan conjuntos de medida nula.
Esto sucede con la distribución de Cantor cuando se toma la de Lebesgue como medida de referencia.

Cuando, como ocurre normalmente en las aplicaciones, X es una variable aleatoria real y μ es la medida de Lebesgue, la función de densidad es una función tal que

\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.

De modo que si F es la función de distribución de X, entonces

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)\,\mathrm {d} u,

y

f(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x).

Intuitivamente, se puede pensar que ƒ(x) dx es la probabilidad de que X asuma valores en el intervalo infinitesimal [x, x + dx].

Propiedades

De las propiedades de la función de densidad se siguen las siguientes propiedades de la fdp (a veces visto como pdf del inglés):

$f(x)\geq 0\;$ para toda $x$ .
El área total encerrada bajo la curva es igual a 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }\,f(x)\,dx=1$

La probabilidad de que $X$ tome un valor en el intervalo $[a,b]$ es el área bajo la curva de la función de densidad en ese intervalo o lo que es lo mismo, la integral definida en dicho intervalo. La gráfica f(x) se conoce a veces como curva de densidad.

$\Pr(a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Algunas FDP están declaradas en rangos de $-\infty \;$ a $+\infty \;$ , como la de la distribución normal.

Enlaces externos

[1] Simulación de la obtención de la probabilidad en un intervalo a partir de la función de densidad de una variable continua con R (lenguaje de programación)

Véase también

Datos: Q207522