Teorema de Radon–Nikodym

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En matemáticas y particularmente en teoría de la medida, el teorema de Radon–Nikodym establece condiciones bajo las cuales se pueden generar medidas con signo absolutamente continuas respecto a una medida dada.

El teorema está asociado a los nombres de Johann Radon, que lo probó en 1913 para el caso particular en que el espacio subyacente es R'N, y Otto M. Nikodym, que lo extendió al caso general en 1930.[1]

Formulación[editar]

Dado un espacio medible , una medida -finita y una medida con signo -finita absolutamente continua con respecto a , entonces existe una función medible sobre que satisface:

, para todo .

Además, si es otra función medible en tal que

, para todo

entonces excepto, tal vez, en un conjunto de -medida nula.

Derivada de Radon–Nikodym[editar]

Dadas las condiciones antes mencionadas, a la función que satisface

para todo se la llama derivada de Radon-Nykodym de con respecto a y suele representarse mediante . Dicha notación refleja el hecho de que esta función desempeña un papel análogo al de la derivada en el cálculo.

Notas[editar]

  1. Nikodym, O. (1930). «Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon». Fundamenta Mathematicae (en francés) 15: 131–179. JFM 56.0922.02. Consultado el 11 de mayo de 2009. 

Referencias[editar]

  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.