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Transformación Geométrica

Representación grafica de una esfera en el espacio proyectada en una superficie bidimensional  

En matemáticas, una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto consigo mismo, o con otro conjunto similar, con algún fundamento geométrico sobresaliente. Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos, generalmente ambos $\mathbb {R^{2}}$ o ambos $\mathbb {R^{3}}$, de modo que la función es inyectiva, por lo que existe su inversa. El estudio de la geometría puede abordarse a través del estudio de estas transformaciones.

Clasificaciones

Las transformaciones geométricas se pueden clasificar por la dimensión de sus conjuntos de operandos, distinguiendo así entre, por ejemplo, transformaciones planares y transformaciones espaciales. También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:

• Los desplazamientos conservan distancias y ángulos orientados.
• Las isometrías conservan ángulos y distancias.
• Las semejanzas preservan ángulos y relaciones entre distancias.
• Una transformación afín preserva el paralelismo, (homografía).

• Las transformaciones proyectivas preservan la colinealidad.

Cada una de estas clases contiene la anterior:

• Las transformaciones de Möbius que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión de círculos) conservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.

• 
  Imagen original (basada en el mapa de Francia)
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  Isometria
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  Semejanza
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  Transformación afín
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  Homografía (geometría)
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  Inversión geometrica

• Las transformaciones conformes conservan ángulos y son, en primer orden, similares.
• Una transformación con áreas equivalentes, conserva áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional y son, en primer orden, transformaciones afines del primer determinante.
• Los homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan las vecindades de los puntos. Los homeomorfismos son los isomorfismos en la categoría de espacios topológicos, es decir, son los mapeos que preservan todas las propiedades topológicas de un espacio determinado. Dos espacios con un homeomorfismo entre ellos se llaman homeomórficos, y desde un punto de vista topológico son los mismos.
• Los difeomorfismos (transformaciones bidifferentiables) son las transformaciones que son afines en primer orden; contienen los anteriores como casos especiales, y pueden ser refinados aún más.

• 
  Transformación conforme
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  Transformación con áreas conservativas
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  Homeomorfismo
• 
  Difeomorfismo

Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.

Acciones de grupo opuesto

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general. La transformación lineal ${\text{A}}$ no es singular. Para un vector de fila ${\vec {v}}$, el producto de la matriz ${\vec {v}}$${\text{A}}$ da como resultado otro vector de fila ${\vec {w}}$ $=$ ${\vec {v}}$${\text{A}}$.

La transpuesta de un vector de fila ${\vec {v}}$ es un vector de columna ${\vec {v}}^{T}$, y la transpuesta de la igualdad anterior es ${\vec {w}}^{T}=({\displaystyle {\vec {v}}}{\displaystyle {\text{A}}})^{T}=\mathrm {A^{T}} {\vec {v}}^{T}$. Aquí ${A^{T}}$proporciona una acción a la izquierda en los vectores de columna.

En geometría de transformación hay composiciones $\mathrm {AB}$. Comenzando con un vector de fila ${\vec {v}}$, la acción correcta de la transformación compuesta es ${\vec {w}}$ $=$ ${\vec {v}}$${\text{AB}}$. Después la transposición es ${\vec {w}}^{T}=({\vec {v}}\mathrm {AB} )^{T}{\vec {v}}^{T}=\mathrm {B} ^{T}\mathrm {A} ^{T}{\vec {v}}^{T}$.

Por lo tanto, para $\mathrm {AB}$ la acción de grupo izquierdo asociada es $\mathrm {B} ^{T}\mathrm {A} ^{T}$. En el estudio de conjuntos opuestos, se hace la distinción entre acciones de grupo opuestas para los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales son conjuntos conmutativos.

Véase también

• Transformación (función)
• Reflexión (matemática)
• [./Https://www.geogebra.org/m/fn3y8gft Transformaciones rígidas]
• Rotación
• Topología
• Matriz de transformación

Lecturas adicionales

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Trex2194/Taller.
• Adler, Irving (2012), A New Look at Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-49851-5  .
• Dienes, Z. P.; Golding, E. W. (1967) . Geometry Through Transformations (3 vols.): Geometry of Distortion, Geometry of Congruence, and Groups and Coordinates. New York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformations and geometries.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2nd edición). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9. 
• John McCleary – Geometry from a Differentiable Viewpoint.
• Modenov, P. S.; Parkhomenko, A. S. (1965) . Geometric Transformations (2 vols.): Euclidean and Affine Transformations, and Projective Transformations. New York: Academic Press.
• A. N. Pressley – Elementary Differential Geometry.
• Yaglom, I. M. (1962, 1968, 1973, 2009) . Geometric Transformations (4 vols.). Random House (I, II & III), MAA (I, II, III & IV).