Usuario:Madhing/Taller

En matemáticas, la cardinalidad de un conjunto es la medida del "número de elementos en el conjunto". Por ejemplo, el conjunto A = {2, 4, 6} contiene 3 elementos, y por tanto A tiene cardinalidad 3. La cardinalidad permite comparar también conjuntos infinitos.

La cardinalidad de un conjunto A usualmente se denota | A |, con una pleca en cada lado; esta es la misma notación que la del valor absoluto y el significado depende del contexto. Alternativamente, la cardinalidad de A se puede denotar por n(A), A, card(A), o # A.

Existen dos aproximaciones a la cardinalidad, una que compara conjuntos directamente usando biyecciones e inyecciones, y otra que utiliza números cardinales.​ La cardinalidad de un conjunto también se suele llamar su tamaño, cuando no existe confusión con otras nociones de tamaño.​

Historia

Se puede observar una noción intuitiva de cardinalidad en animales, ya que pueden comparar grupos de cosas según la cantidad de elementos que tienen. Ello sugiere que el concepto podría tener millones de años.​ Hace 40000 años los humanos ya usaban herramientas para contar.​ La abstracción de la cardinalidad como un número ya se evidenciaba hacia el 3000 BCE: en la matemática sumeria ya se manipulaban números sin hacer referencia a colecciones concretas.​

A partir del siglo VI a. C. hay escrituras de los filósofos griegos que se preocupan por los conjuntos infinitos, aunque para ellos se trataban simplemente de acciones que se pueden continuar indefinidamente (como sumar 1). Por ello no se preocupan del tamaño de los conjuntos infinitos.​ De acuerdo con la noción griega de infinito, también se podía dividir cosas en partes de forma ilimitada. En los Elementos de Euclides la conmesurabilidad se describía como la posibilidad de comparar longitudes de segmentos a and b como una razón, siempre y cuando existiera un tercer segmento c que cupiera una cantidad entera de veces tanto en a como en b. Con el descubrimiento de los irracionales, se vio que no bastaba con el conjunto infinito de los racionales para describir todas las longitudes.​

El concepto de número cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial.

Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} son distintos, pero ambos tienen cardinalidad 3.

Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito. Mientras que algunos conjuntos infinitos están en biyección con el conjunto de números naturales ($\mathbb {N}$ = {1, 2, 3, ...}), Cantor publicó en 1891 una demostración de que hay conjuntos infinitos más grandes que el de naturales (su famoso Argumento diagonal).

Nombró el cardinal de $\mathbb {N}$: $\aleph _{0}$. Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad $\aleph _{0}$, debido a que era posible establecer la relación biunívoca con $\mathbb {N}$.