Usuario:Kved/Desafío1

Desafío matemático de turno, primera edición

Te escribo en pocas líneas ya que estoy en un receso para merendar y en breve debo seguir estudiando. El desafío me dio como resultado que X = 120°. ¿La vuelta de tuerca a la que hacías referencia es que, luego de hacer Baskara, los resultados x1 y x2 son valores de cos x y no de x? ¿O se refiere a que aquel x2 = 3 arroja error al hacer cos-1? Un abrazo.--Santi Monse 22:29 17 ene 2008 (UTC)

Sí y no. O como diría Troy McClure: "crédito parcial". Una de las respuestas es, en efecto, 120º (o para hacerlo de manera más cómoda vamos a trabajar en radianes). En el caso este en particular, te olvidaste de un detalle: la función arcoseno y arcocoseno tienen su dominio restringido de $+{\frac {\pi }{2}}$ a $-{\frac {\pi }{2}}$. Y en esta operación es en dónde perdiste soluciones (infinitas soluciones, de hecho).

Un conjunto de soluciones sería la sucesión geométrica:

$S_{x}=\;\{x\in \Re \;\backslash \;x=\pm \;2^{k}\;{\frac {\pi }{3}}\}\;\;\forall k\in \mathbb {N} \;-\;\{0\}$

De esta forma, reemplazando a k por cualquier número natural excepto cero, obtenés un grupo de infinitas soluciones. Si reemplazamos k por 1, obtenemos la solución que encontraste vos: ${\frac {2\pi }{3}}$, pero también existen la de k = 2, ${\frac {4\pi }{3}}$, k = 3 nos arroja ${\frac {8\pi }{3}}$. Y esto con cualquier número positivo o negativo.

Pero esta no es la única forma de conseguir un conjunto de soluciones, porque el de la sucesión geométrica de arriba solamente toma un puñado de las soluciones posibles, también podemos definir una sucesión recursiva que englobe todas las posibilidades:

Definiendo el elemento inicial:

$a_{0}=2$

Para índices j impares, se cumple que:

$a_{j}=a_{j-1}+2$

Y para índices j pares, se cumple que:

$a_{j}=a_{j-1}+4$

En este caso si reemplazamos nos va a dar una serie de números de esta forma:

2, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 26, 28, 32, 34... ad infinitum.

Y teniendo en cuenta esto, la solución final que engloba todas las soluciones posibles es:

$S_{x}=\;\{x\in \mathbb {R} \;\backslash \;x=\pm \;a_{j}\;{\frac {\pi }{3}}\}\;\;\forall j\in \mathbb {N}$

Ahora, si vas a seguir ingeniería y de casualidad es ingeniería en electrónica, esta parte te va a interesar (porque esto lo vas a ver hasta el cansancio):

La función $2.\sin x+5.\cot x=-\csc x$ no sólo tiene soluciones dentro del campo de los números reales, sino también los tiene dentro de los números complejos. De la fórmula de De Moivre se pueden deducir estas dos relaciones entre los números imaginarios y las funciones trigonométricas:

$\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\,$

$\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2\mathrm {i} \,$

Operando con estas relaciones, se pueden obtener un grupo de números complejos (que si no me equivoco también van a ser infinitos y van a estar definidos por una sucesión y/o serie matemática) que sean solución de la expresión original.

Y si llegaste leyendo hasta acá, y no te pegaste un tiro antes, y estás preguntándote ¿qué números complejos son solución de esta expresión?. Bueno, los que pude encontrar hasta ahora fueron dos:

$x_{1}=2\;i\;\lg {({\sqrt {2}}+1)}$

$x_{2}=-2\;i\;\lg {({\sqrt {2}}+1)}$

Y si bien estos números que encontré son imaginarios puros, también tienen que existir raíces complejas de la expresión (y según supongo, deben ser infinitas).

¿No te esperabas ni a palos semejante resolución no?. La primera parte del ejercicio, el tema de las series y sucesiones es un ejercicio que me tomaron en una evaluación de matemática en tercer año de la secundaria (el docente que tuve en la secundaria era un desubicado a la hora de tomar exámenes). La segunda parte de los números complejos e imaginarios fue una solución que se me ocurrió ya cursando la facultad. En fin, si de casualidad no entendiste algo preguntame en mi discusión que con gusto te lo trato de explicar. Te dejo un abrazo. -- KveD (mensajes) 05:09 18 ene 2008 (UTC) PD: ¡Y enhorabuena! ¡Has sido el primero en venir y traerme un resultado del desafío! ¡Felicitaciones!.