Tronco (geometría)

tronco
Ejemplos: Un tronco pentagonal y otro cuadrado
Caras	n trapezoides, 2 polígonos
Aristas	3n
Vértices	2n

En geometría, un tronco es la parte de un sólido, normalmente un cono o pirámide que se obtiene al cortarlo con dos planos paralelos.

Elementos y casos especiales

Cada una de las intersecciones con los planos de corte es una base del tronco. El eje, si lo hubiere, es el original del cono o la pirámide. Un tronco es circular si tienen esa forma las bases; es recto si el eje es perpendicular a las bases y oblicuo en caso contrario.

Conos y pirámides pueden verse como casos extremos de tronco, en los que uno de los planos de corte es tangente al vértice, quedando ésta reducida a un punto.

Fórmulas

Tronco oblicuo de una pirámide de base pentagonal.

El volumen de un tronco es la diferencia entre el volumen del sólido original, menos la parte exterior a los planos de corte:

$V=\left|{\frac {h_{1}B_{1}}{3}}-{\frac {h_{2}B_{2}}{3}}\right|,$

donde $h_{1}\,$ y $h_{2}\,$ son las distancias desde el vértice a las bases mayor y menor, siendo $B_{1}\,$ y $B_{2}\,$ las áreas de éstas.

Tronco de pirámide hexagonal.

Sea $h\,$ la altura del tronco, esto es la distancia entre las bases, y teniendo en cuenta que $h=\left|h_{1}-h_{2}\right|\,$ y que ${\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {h_{1}^{2}}{h_{2}^{2}}}$, se obtiene una fórmula para el volumen, donde se relaciona este con la altura del tronco y el área de sus bases, mediante la media heroniana.

$V={\frac {h}{3}}(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2})$

Tronco cónico

En particular, el volumen de un tronco cónico es:

$V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{1}R_{2}+R_{2}^{2})$

donde $R_{1}\,$ y $R_{2}\,$ son los radios de las bases.

Tronco circular

Usando las definiciones precedentes, en el caso de un cono truncado, la fórmula se simplifica:

$V={\frac {\pi }{12}}hD_{1}^{2}\left(1-\left({\frac {D_{2}}{D_{1}}}\right)^{2}\right)$ , siendo 'D' los diámetros de las bases.

De igual forma:

$V={\frac {\pi }{12}}h\left(D_{1}^{2}-{\frac {D_{2}^{2}}{D_{1}/D_{2}}}\right)$

Véase también

• Media heroniana
• Tronco de cono
• Tronco de pirámide

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Tronco.
• Weisstein, Eric W. «Tronco piramidal». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Tronco cónico». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• Modelos de papel de troncos de pirámides