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Triángulo heptagonal

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Un heptágono regular (con lados rojos), sus diagonales más largas (verdes), y sus diagonales más cortas (azules). Cada uno de los catorce triángulos heptagonales congruentes tiene un lado verde, un lado azul, y un lado rojo.

Un triángulo heptagonal es un triángulo escaleno obtuso cuyos vértices coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario). Por lo tanto, sus tres lados coinciden con un lado y con las diagonales adyacentes más cortas y más largas de un heptágono regular. Todos los triángulos heptagonales son similares (tienen la misma forma), por lo que se conocen colectivamente como el triángulo heptagonal. Sus ángulos miden y y es el único triángulo con ángulos en las relaciones 1: 2: 4. El triángulo heptagonal tiene varias propiedades notables.

Puntos clave

El centro de nueve puntos del triángulo heptagonal es también su primer punto de Brocard.[1]: Propos. 12 

El segundo punto de Brocard se encuentra en el círculo de nueve puntos.[2]: p. 19 

El circuncentro y los puntos de Fermat de un triángulo heptagonal forman un triángulo equilátero.[1]: Thm. 22 

La distancia entre el circuncentro O y el ortocentro H viene dada por[2]: p. 19 

donde R es el circunradio. La distancia al cuadrado desde el incentro I al ortocentro es[2]: p. 19 

donde r es el inradio.

Las dos tangentes desde el ortocentro hasta el circuncírculo son mutuamente perpendiculares.[2]: p. 19 

Relaciones de distancias

Lados

Los lados del triángulo heptagonal a < b < c coinciden respectivamente con el lado del heptágono regular, diagonal más corta y diagonal más larga. Satisfacen que[3]: Lemma 1 

(la última[2]: p. 13  es la ecuación óptica) y por lo tanto

y[3]: Coro. 2 

Por lo tanto, -b/c, c/a y a/b satisfacen la ecuación cúbica

Sin embargo, no existen expresiones algebraicas con términos puramente reales para las soluciones de esta ecuación, porque es un ejemplo de casus irreducibilis.

La relación aproximada de los lados es

También se tiene que[4]

satisface la ecuación cúbica

También se tiene que[4]

satisface la ecuación cúbica

Así mismo, los valores[4]

satisfacen la ecuación cúbica

También se tiene que[2]: p. 14 

y[2]: p. 15 

Por otro lado[4]

No hay otro par de números (m, n), tales que m, n > 0 y que m, n <2000, que cumplan [cita requerida]

Alturas

Las alturas ha, hb y hc satisfacen

[2]: p. 13 

y

[2]: p. 14 

La altura desde el lado b (ángulo opuesto B) es la mitad de la bisectriz del ángulo interno de A:[2]: p. 19 

Aquí el ángulo A es el ángulo más pequeño y B es el segundo ángulo más pequeño.

Bisectrices

Se tienen las siguientes propiedades de las bisectrices y de los ángulos A, B y C respectivamente:[2]: p. 16 

Circunradio, inradio y exradio

El área del triángulo es[5]

donde R es el circunradio del triángulo.

Se tiene que[2]: p. 12 

También se tiene que[6]

La relación r/R del inradio respecto al circumrado es la solución positiva de la ecuación cúbica[5]

Además,[2]: p. 15 

También se tiene que[6]

En general para todos los enteros n,

donde

y

Así mismo[6]

También se tiene que[4]

El exradio ra correspondiente al lado a es igual al radio de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo heptagonal.[2]: p. 15 

Triángulo órtico

El triángulo órtico del triángulo heptagonal, con vértices en los pies de las alturas, es similar al triángulo heptagonal, con una relación de similitud de 1: 2. El triángulo heptagonal es el único triángulo obtuso que es similar a su triángulo órtico (el triángulo equilátero es el único agudo con esta propiedad).[2]: pp. 12–13 

Propiedades trigonométricas

Las diversas identidades trigonométricas asociadas con el triángulo heptagonal incluyen:[2]: pp. 13–14 [5]

[4]: Proposition 10 

La ecuación cúbica

tiene soluciones[2]: p. 14  y que son los senos al cuadrado de los ángulos del triángulo.

La solución positiva de la ecuación cúbica

es igual que es el doble del coseno de uno de los ángulos del triángulo.[7]: p. 186–187 

Sin (2π/7), sin (4π/7) y sin (8π/7) son las raíces de[4]

También se tiene que:[6]

Para un entero n, sea

Para n = 0, ..., 20,

Para n = 0, -1,, ..-20,

Para cualquier entero n

Para n = 0, 1, ... 10,

Para un entero n, sea

Para n = 0, 1, ... 10,

También se tiene que[6][8]

Así mismo[4]

También se tiene que[4]

También se tiene que[9]

También se cumplen identidades de tipo Ramanujan,[10]

También se tiene que[9]

Referencias

  1. a b Paul Yiu, "Heptagonal Triangles and Their Companions", Forum Geometricorum 9, 2009, 125–148. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200912.pdf
  2. a b c d e f g h i j k l m n ñ o p Leon Bankoff and Jack Garfunkel, "The heptagonal triangle", Mathematics Magazine 46 (1), January 1973, 7–19.
  3. a b Abdilkadir Altintas, "Some Collinearities in the Heptagonal Triangle", Forum Geometricorum 16, 2016, 249–256.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
  4. a b c d e f g h i Wang, Kai. “Heptagonal Triangle and Trigonometric Identities”, Forum Geometricorum 19, 2019, 29–38.
  5. a b c Weisstein, Eric W. "Heptagonal Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeptagonalTriangle.html
  6. a b c d e Wang, Kai. https://www.researchgate.net/publication/327825153_Trigonometric_Properties_For_Heptagonal_Triangle
  7. Gleason, Andrew Mattei (March 1988). «Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon». The American Mathematical Monthly 95 (3): 185-194. doi:10.2307/2323624. Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2015. 
  8. Victor H. Moll, An elementary trigonometric equation, https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007
  9. a b Kai Wang, https://www.researchgate.net/publication/336813631_Topics_of_Ramanujan_type_identities_for_PI7
  10. Roman Witula and Damian Slota, New Ramanujan-Type Formulas and Quasi-Fibonacci Numbers of Order 7, Journal of Integer Sequences, Vol. 10 (2007).