Circunferencia de los nueve puntos

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Circulo nueve puntos.svg

En geometría, se conoce como circunferencia de los nueve puntos a aquella que se puede construir sobre cualquier triángulo propuesto. Su nombre deriva del hecho que la circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos son:

  • el punto medio de cada lado del triángulo,
  • los pies de las alturas,
  • los puntos medios de los segmentos determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.


Historia[editar]

Generalmente Historia traducida de la versión en inglés del artículo , se adjudica a [Karl Wilhelm Feuerbach] el descubrimiento de la circunferencia de los nueve puntos; sin embargo, lo que él descubrió fue la circunferencia de los seis puntos, reconociendo que sobre ella se encuentran los puntos medios de los lados de un triángulo y los pies de las alturas(en la figura, los puntos: M N P y X G J).

Anteriormente, Charles Brianchon y Jean-Victor Fernandes habían demostrado su existencia. Poco tiempo después de Feuerbach, Olry Terquem también demostró la existencia del círculo y reconoció además que los puntos medios de los segmentos determinados por los vértices del triángulo y el ortocentro, también están contenidos en la circunferencia (en la figura, los puntos: D F H).

Denominación[editar]

Poncelet la llamó circunferencia de los nueve puntos, denominación generalmente usada en los países de habla inglesa. Algunos geómetras franceses le llaman círculo de Euler ( o circunferencia de Euler) y los geómetras teutones lo denominan circunferencia de Feuerbach, y en México, circunferencia de los nueve puntos (sic)[1] . Charles Wexler lo presenta como un teorema notable de geometría moderna e indica sus propiedades [2] .

Demostración[editar]

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Consideremos las alturas del triángulo ABC: AE, BG y CJ (véase la figura). El triángulo GEJ es el triángulo órtico del triángulo ABC, y el punto I es el ortocentro del triángulo ABC. Las alturas de este, son las bisectrices de los ángulos internos de aquel. Los lados del triángulo ABC son las bisectrices exteriores del triángulo GEJ.

Las bisectrices del ángulo JGE cortan a la mediatriz del lado opuesto, EJ en los puntos F y N que se hallan sobre la circunferencia circunscrita c (descrito en el artículo de la bisectriz de un angulo).

Observemos que los triángulos ACJ y ACE son rectángulos teniendo ambos al lado AC como hipotenusa. Se sigue que los cuatro puntos A, C, E y J son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa AC con la mediatriz del segmento EJ, esto es, el punto N. Se sigue que N es punto medio del segmento AC.

De modo semejante, los triángulos EIB y JIB son rectángulos compartiendo la hipotenusa IB. Por lo tanto, los puntos E, I, J y B son concíclicos y el centro de la circunferencia que los contiene se halla sobre la intersección de la hipotenusa IB con la mediatriz del segmento EJ, esto es el punto F. De igual modo, se demuestra que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y BC respectivamente. De forma análoga, se demuestra que los puntos D y H son puntos medios de los segmentos AI y CI respectivamente.

Circunferencia circunscrita y la de Feuerbach[editar]

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Por la observación de que los puntos D, F y H satisfacen

IA = 2\,ID\,\quad IB = 2\,IF\,\quad IC = 2\,IH,

se deduce que:

El triángulo formado por los puntos D, F y H[3] es semejante al triángulo ABC. También se observa que el centro de la circunferencia de Feuerbach N, es punto medio del segmento IO, donde O es el circuncentro del triángulo ABC.

Finalmente, el centro de la circunferencia de Feuerbach se halla sobre la recta de Euler del triángulo.

Otras propiedades[editar]

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En 1822, Karl Feuerbach descubrió una de las propiedades más profundas sobre la circunferencia que lleva su nombre: la circunferencia de los nueve puntos es tangente exterior a los círculos exinscritos al triángulo. La circunferencia inscrita al triángulo es tangente interior a la circunferencia de Feuerbach.

La demostración de este hecho[4] puede hacerse, observando que los puntos de tangencia de dos de las circunferencias exinscritas a uno de los lados del triángulo equidistan del punto medio de dicho lado. Usando la inversión respecto de este punto medio se le puede dar el toque final a la demostración.

Notas[editar]

  1. "Estudio de las Geometrías I" de Cambridge (1944)Uteha, México D.F. ISBN 968-438-780-6, pág. 126
  2. "Geometría analítica. Un enfoque vectorial" por Charles Wexler (1977) Montaner y Simon, S.A. Barcelona ISBN 84-274-0394-1 , pág. 104
  3. Estos puntos son los llamados puntos de Euler y el triángulo determinado por ellos, el triángulo de Euler.
  4. Véase Bogomolny, Alexander. «Feuerbach's Theorem: a Proof» (en inglés). Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

Enlaces externos[editar]