Teorema rango-nulidad

Teorema rango-nulidad.
T : V → W. La dimensión del núcleo de T más la dimensión de la imagen de T es igual a la dimensión del espacio vectorial de partida V.

En matemáticas, el teorema rango–nulidad del álgebra lineal, en su forma más sencilla, habla de la relación entre el número de columnas de una matriz, su rango y su nulidad. Específicamente, si A es una matriz de orden m x n (con m filas y n columnas) sobre algún cuerpo, entonces​

$\operatorname {rgo} (A)+\operatorname {nul} (A)=n.$

Esto aplica también a aplicaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión finita. Sean V y W espacios vectoriales sobre algún cuerpo y sea T : V → W una aplicación lineal. Entonces el rango de T es la dimensión de la imagen de T (im T) y la nulidad de T es la dimensión del núcleo de T (ker T), así que tenemos

$\operatorname {dim} (\operatorname {im} (T))+\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))=\operatorname {dim} (V),$

o equivalentemente,

$\operatorname {rgo} (T)+\operatorname {nul} (T)=\operatorname {dim} (V).$

Demostración

Sea T : V → W una aplicación lineal. Supongamos que el conjunto $\{\color {red}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black}\}\in V$ forma una base del núcleo de T, (ker T). Por el teorema de extensión de la base, podemos extender este conjunto para formar una base de V: $\{\color {red}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black},\color {blue}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\color {black}\}\in V$. Puesto que la dimensión del núcleo de T es m y la dimensión de V es m + n, solo se necesita demostrar que la dimensión de la imagen de T (im T) es n.

Veamos que el conjunto $\{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}\in W$ es una base de im T. Para ello, se debe demostrar que genera a im T y que son linealmente independientes.

Sea v un vector arbitrario en V. Existen escalares únicos tales que:

$\mathbf {v} =\color {red}a_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {u} _{m}\color {black}+\color {blue}b_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}\mathbf {w} _{n}$

$\Rightarrow T\mathbf {v} =\color {red}a_{1}T\mathbf {u} _{1}+\cdots +a_{m}T\mathbf {u} _{m}\color {black}+\color {blue}b_{1}T\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}T\mathbf {w} _{n}$

$\Rightarrow T\mathbf {v} =\color {blue}b_{1}T\mathbf {w} _{1}+\cdots +b_{n}T\mathbf {w} _{n}\color {black}\;\;\because T\color {red}\mathbf {u} _{i}\color {black}=\mathbf {0}$

Por lo tanto, $\{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}$ genera la im T.

Ahora, solo se necesita demostrar que el conjunto $\{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}$ es linealmente independiente. Podemos hacer esto demostrando que una combinación lineal de estos vectores es cero si y solo si el coeficiente de cada vector es cero. Sea:

$\color {blue}c_{1}T\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}T\mathbf {w} _{n}\color {black}=\mathbf {0} \Leftrightarrow T(\color {blue}c_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {w} _{n}\color {black})=\mathbf {0}$

$\therefore \color {blue}c_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {w} _{n}\color {black}\in \operatorname {ker} \;T$

Entonces, puesto que u_i genera a ker T, existe un conjunto de escalares d_i tales que:

$\color {blue}c_{1}\mathbf {w} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {w} _{n}\color {black}=\color {red}d_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +d_{m}\mathbf {u} _{m}$

Pero, puesto que el conjunto $\{\color {red}\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{m}\color {black},\color {blue}\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\color {black}\}$ forma una base de V, todos los escalares c_i, d_i deben ser cero. Por lo tanto, $\{\color {blue}T\mathbf {w} _{1},\ldots ,T\mathbf {w} _{n}\color {black}\}$ es linealmente independiente y forma una base de im T. Esto prueba que la dimensión de im T es n, como se deseaba.

Véase también

• Núcleo
• Nulidad
• Imagen
• Rango

Referencias

• Datos: Q303402