Teorema de Heine-Cantor

En matemáticas, el teorema de Heine-Cantor, llamado así por deberse a Eduard Heine (1821 - 1881) y Georg Cantor, establece que, si f : M → N es una función continua entre dos espacios métricos y M es compacto, entonces f es uniformemente continua.

Demostración

La continuidad uniforme de una función se expresa como:

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \Rightarrow d_{N}(f(x),f(y))<\varepsilon \right),$

donde d_M, d_N son las funciones distancia en los espacios métricos M y N, respectivamente. Si ahora asumimos que f es continua en el espacio métrico compacto M pero no uniformemente continua, la negación de la continuidad uniforme de f queda así:

$\exists \varepsilon _{0}>0\ \forall \delta >0\ \exists x,y\in M:\left(d_{M}(x,y)<\delta \wedge d_{N}(f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}\right).$

Eligiendo ε₀, para todo δ positivo tenemos un par de puntos x e y en M con las propiedades arriba descritas. Si elegimos δ = 1/n para n = 1, 2, 3, ... obtenemos dos sucesiones {x_n}, {y_n} tales que

$d_{M}(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}\wedge d_{N}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}.$

Como M es compacto, el teorema de Bolzano-Weierstrass demuestra la existencia de dos subsucesiones convergentes ($x_{n_{k}}$ a x₀ y $y_{n_{k}}$ a y₀). Se sigue que

$d_{M}(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\wedge d_{N}(f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}.$

Pero como f es continua y $x_{n_{k}}$ e $y_{n_{k}}$ convergen en el mismo punto, esta afirmación no puede ser cierta. La contradicción prueba que nuestra suposición de que f no es uniformemente continua es absurda: entonces f debe ser uniformemente continua como afirma el teorema.

• Datos: Q765987