Superficie reglada

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. En función de las características y condiciones particulares de estos elementos, recibe diversos nombres.

Plot paramétrico de una banda de Möbius.

Clasificación de las superficies regladas

Superficies regladas son:

el plano
las superficies de curvatura simple:
- superficie cilíndrica
  - superficie cilíndrica de revolución
  - superficie cilíndrica de no revolución
- superficie cónica
  - superficie cónica de revolución
  - superficie cónica de no revolución
las superficies alabeadas
- cilindroide
- conoide
- superficie doblemente reglada
  - paraboloide hiperbólico
  - hiperboloide de revolución

Ecuaciones matemáticas

Una superficie $\mathbf {S}$ es reglada si para cada punto $\mathbf {p}$ de la misma, existe una línea recta que contiene a $\mathbf {p}$ y contenida en $\mathbf {S}$ . Una superficie reglada $\mathbf {S}$ puede representarse siempre (al menos localmente) por una ecuación paramétrica de la siguiente forma:

$\mathbf {S} (t,u)=\mathbf {p} (t)+u\mathbf {r} (t)$

donde $\mathbf {p} (t)$ es una curva en $\mathbf {S}$ , y $\mathbf {r} (t)$ es una curva en la esfera unidad. Así, por ejemplo,

${\begin{aligned}\mathbf {p} &=(\cos(t),\sin(t),0)\\\mathbf {r} &=\left(\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\cos(t),\cos \left({\frac {t}{2}}\right)\sin(t),\sin \left({\frac {t}{2}}\right)\right)\end{aligned}}$

se obtiene una superficie que contiene la Cinta de Möbius.

Alternativamente, una superficie reglada $\mathbf {S}$ puede representarse paramétricamente como:

$\mathbf {S} (t,u)=(1-u)\mathbf {p} (t)+u\mathbf {q} (t)$

Donde $\mathbf {p}$ y $\mathbf {q}$ son dos curvas de $\mathbf {S}$ que no se intersecan. Por ejemplo, cuando $\mathbf {p} (t)$ y $\mathbf {q} (t)$ se mueven con velocidad constante a lo largo de dos rectas alabeadas, la superficie es un paraboloide hiperbólico, o parte de un hiperboloide de una sola hoja.

$x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\,$

Véase también

Superficie desarrollable

Datos: Q840376
Multimedia: Ruled surfaces / Q840376