Número imaginario

En matemáticas, un número imaginario es un número complejo cuya parte real es igual a cero, por ejemplo: $5i\$ es un número imaginario, así como $i\$ o $-i\$ son también números imaginarios. En otras palabras, es un número de la forma:

z=x+y\,i\;:\quad x=0

Un número imaginario puede describirse como el producto de un número real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1 :^[1]^[2]^[3]

$i={\sqrt {-1}}$

Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a ${\sqrt {-1}}$ el nombre de i, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenían una existencia real. Gottfried Leibniz, en el siglo XVII, decía que ${\sqrt {-1}}$ era una especie de anfibio entre el ser y la nada.

En ingeniería electrónica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita como j para evitar la confusión con la intensidad de una corriente eléctrica, tradicionalmente denotada por i.

Historia

**Cronología**^[4]
Año	Acontecimiento
1572	Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.
1777	Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.
1811	Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand

Interpretación geométrica

Geométricamente, los números imaginarios se encuentran en el eje vertical del plano complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como $i\mathbb {R}$ , $\mathbb {I}$ , o simplemente $\Im$ . En esta representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen. Una multiplicación por $i$ corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección "positiva" (en el sentido antihorario), y la ecuación $i^{2}=-1$ puede interpretarse diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación. Esto refleja el hecho que $-i$ es también una solución de la ecuación $x^{2}=-1$ . En general, multiplicar por un número complejo es lo mismo que sufrir una rotación alrededor del origen por el argumento del número complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.

Propiedades

$\ldots$ (se repite el patrón de la zona azul)
$i^{-3}=i\,$
$i^{-2}=-1\,$
$i^{-1}=-i\,$
$i^{0}=1\,$
$i^{1}=i\,$
$i^{2}=-1\,$
$i^{3}=-i\,$
$i^{4}=1\,$
$i^{5}=i\,$
$i^{6}=-1\,$
$\ldots$ (se repite el patrón de la zona azul)

Todo número imaginario puede ser escrito como $ib$ donde $b$ es un número real e $i$ es la unidad imaginaria, con la propiedad

$i^{2}=-1\,\!$ ,

puesto entonces:

$(bi)^{2}=-b^{2}\;$

que es un número real.

Cada número complejo puede ser escrito unívocamente como una suma de un número real y un número imaginario, de esta forma:

$a+bi\,\!$

Al número imaginario i se le denomina también constante imaginaria.

Del mismo modo, partiendo de:

${\sqrt {-1}}=i$

la raíz cuadrada de cualquier número real negativo, da por resultado un número imaginario, así por ejemplo:

${\sqrt {-36}}={\sqrt {(36)(-1)}}={\sqrt {36}}\,{\sqrt {-1}}=6\;i$

Estos números extienden el conjunto de los números reales $\mathbb {R}$ al conjunto de los números complejos $\mathbb {C}$ .

Por otro lado, no podemos asumir que los números imaginarios tienen la propiedad, al igual que los números reales, de poder ser ordenados de acuerdo a su valor.^[5] Es decir, es justo decir que $1>0$ , y que $-1<0$ . Esta regla no aplica a los números imaginarios, debido a una simple demostración:

Recordemos que en los números reales, el producto de dos números reales, supónganse a y b, donde ambos son mayores que cero, es igual a un número mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que $a=2>0$ , $b=3>0$ , por lo tanto, $(a)(b)=c>0$ , entonces tenemos que $(2)(3)=6$ , y obviamente $6>0$ .

Por otro lado, supóngase que $i>0$ , entonces tenemos que $-1=(i)(i)>0$ , lo cual evidentemente es falso.

Y de igual manera, hagamos la errónea suposición de que $i<0$ , pero si multiplicamos por $-1$ nos queda que $-i>0$ . Por lo tanto tenemos que $-1=(-i)(-i)>0$ . Lo que es, igualmente que la suposición anterior, totalmente falso.

Concluiremos que esta suposición y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los números imaginarios es completamente falsa.

Usos

La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raíz cuadrada de números negativos, confirmando el teorema fundamental del álgebra.
Igualmente la raíz cuadrada de un número imaginario es un número complejo, y la raíz de un número complejo en general es otro número complejo.
Gracias a la fórmula de De Moivre los logaritmos de números negativos también son expresables (de manera no unívoca) mediante $\ i$ , así $\ ln(-1)=\pi i$ aunque cualquier número imaginario de la forma $\ x=(2n+1)\pi i$ satisface que la función exponencial $\ e^{x}=-1$ . Curiosamente, $i^{i}=e^{\ln {i^{i}}}=e^{i\ln {i}}=e^{-{\pi \over 2}}\approx 0,2078795764$ .
En física cuántica la unidad imaginaria permite simplificar la descripción matemática de los estados cuánticos variables en el tiempo.
En teoría de circuitos y corriente alterna la unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes como fasores, lo cual permite un tratamiento algebraico más ágil de dichas magnitudes.