Media-f generalizada

Una f-media generalizada o media cuasi-aritmética es una generalización del concepto de media que generaliza tanto a la media aritmética, como la media geométrica, la media cuadrática o la media armónica, por medio de una función $f$ .

También recibe el nombre de media de Kolmogorov en honor al científico ruso Andrey Kolmogorov.

Definición

Sea una función $f:I\to \mathbb {R}$ que es continua e inyectiva entonces se define la f-media de dos números como:

$x_{1},x_{2}\in I,$ como $M_{f}(x_{1},x_{2})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}\right)$

Para n números:

$x_{1},\dots ,x_{n}\in I$ , su f-media es $M_{f}x=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$

La f-media está bien definida gracias a que se ha requerido que f sea inyectiva para asegurar que existe la función inversa $f^{-1}$ . Además puesto que $f$ está definida en un intervalo, ${\frac {f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}}$ estará en el dominio de $f^{-1}$ .

Puesto que f es inyectiva y continua, se deduce que f es estrictamente monótona, y por tanto que la f-media está entre el máximo y el mínimo del conjunto de datos:

$\min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}$

Referencia

Bibliografía

Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
Andrey Kolmogorov (1930) “Mathematics and mechanics”, Moscow — pp. 136-138. (In Russian)
Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388-391.
John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

Datos: Q583095