Media-f generalizada

Una f-media generalizada o media cuasi-aritmética es una generalización del concepto de media que generaliza tanto a la media aritmética, como la media geométrica, la media cuadrática o la media armónica, por medio de una función $f$.

También recibe el nombre de media de Kolmogorov en honor al científico ruso Andrey Kolmogorov.

Definición

Sea una función $f:I\to \mathbb {R}$ que es continua e inyectiva entonces se define la f-media de dos números como:

$x_{1},x_{2}\in I,$ como $M_{f}(x_{1},x_{2})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}\right)$

Para n números:

$x_{1},\dots ,x_{n}\in I$, su f-media es $M_{f}x=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)$

La f-media está bien definida gracias a que se ha requerido que f sea inyectiva para asegurar que existe la función inversa $f^{-1}$. Además puesto que $f$ está definida en un intervalo, ${\frac {f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}}$ estará en el dominio de $f^{-1}$.

Puesto que f es inyectiva y continua, se deduce que f es estrictamente monótona, y por tanto que la f-media está entre el máximo y el mínimo del conjunto de datos:

$\min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}$

Referencias

Bibliografía

• Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
• Andrey Kolmogorov (1930) “Mathematics and mechanics”, Moscow — pp. 136-138. (In Russian)
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388-391.
• John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.

• Datos: Q583095