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Función Digamma
Ψ
(
s
)
{\displaystyle \Psi (s)}
plano complejo . El color de un punto
s
{\displaystyle s}
Ψ
(
s
)
{\displaystyle \Psi (s)}
argumento . En matemáticas , la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma , siendo la primera de las funciones poligamma . Se define de la siguiente manera:
ψ
(
z
)
=
d
ln
Γ
d
z
(
z
)
=
Γ
′
(
z
)
Γ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)={\frac {d\,\ln \Gamma }{dz}}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}
donde
Γ
{\displaystyle \Gamma }
función gamma .
Representaciones Usando la expresión
Γ
(
z
)
=
e
−
γ
z
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
−
1
e
z
/
n
,
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni , podemos tomar el logaritmo
ln
(
Γ
(
z
)
)
=
−
γ
z
−
ln
z
−
∑
n
=
1
∞
ln
(
1
+
z
n
)
−
z
/
n
{\displaystyle \ln(\Gamma (z))=-\gamma z-\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)-z/n}
y derivando respecto de z , obtenemos una representación en forma de serie
ψ
(
z
)
=
−
γ
−
1
z
+
∑
n
=
1
∞
(
1
n
−
1
n
+
z
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
∞
(
1
k
−
1
z
+
k
−
1
)
.
{\displaystyle \psi (z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z+k-1}}\right).}
Propiedades De la expresión anterior se desprende la relación de recurrencia
ψ
(
z
+
1
)
=
ψ
(
z
)
+
1
z
.
{\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}.}
De aquí que si n es un entero positivo, entonces
ψ
(
n
)
=
−
γ
+
∑
k
=
1
n
−
1
1
k
=
−
γ
+
H
n
−
1
{\displaystyle \psi (n)=-\gamma +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{n-1}}
donde
H
n
−
1
{\displaystyle H_{n-1}}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
número armónico .
La función digamma satisface una fórmula de reflexión similar a la que se cumple para la función gamma,
Ψ
(
1
−
x
)
−
Ψ
(
x
)
=
π
cot
(
π
x
)
{\displaystyle \Psi (1-x)-\Psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}
La función digamma cumple
ψ
0
(
x
)
∼
ln
(
x
−
γ
)
+
2
γ
{\displaystyle \psi _{0}(x)\sim \ln \left({x-\gamma }\right)+2\gamma }
La función digamma también se denota como
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi _{0}(x)}
ψ
0
(
x
)
{\displaystyle \psi ^{0}(x)}
Temas relacionados Referencias Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258-259, 1972. See section §6.4
Weisstein, Eric W . «Digamma function» . En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés) . Wolfram Research . 
