Función trigamma

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Trigamma function  \psi_1(z) in the complex plane. The color of a point  z encodes the value of  \psi_1(z) . Strong colors denote values close to zero and hue encodes the value's argument.

En matemática, la función trigamma, denotada mediante ψ1(z), es la segunda de las funciones poligamma, y es definida mediante

\psi_1(z) = \frac{d^2}{dz^2} \ln\Gamma(z).

Se observa de esta definición que

\psi_1(z) = \frac{d}{dz} \psi(z)

donde ψ(z) es la función digamma. Se puede definir también como la suma de la serie

 \psi_1(z) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{(z + n)^2},

haciéndola un caso especial de la función zeta de Hurwitz

 \psi_1(z) = \zeta(2,z). \frac{}{}

Nótese que las dos últimas fórmulas son válidas cuando 1-z no es un número natural.

Representaciones[editar]

Una representación, en forma de integral doble, como una alternativa a una de las dadas arriba, puede ser derivada de la representación en forma de serie:

 \psi_1(z) = \int_0^1\int_0^y\frac{x^{z-1}y}{1 - x}\,dx\,dy

usando la fórmula de la suma de la serie geométrica. Integrando por partes se obtiente:

 \psi_1(z) = -\int_0^1\frac{x^{z-1}\ln{x}}{1-x}\,dx

Una expansión asintótica en términos de los números de Bernoulli es

 \psi_1(1+z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{2z^2} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{z^{2k+1}} .

Fórmulas de recurrencia y reflexión[editar]

La función trigamma satisface la siguiente relación de recurrencia:

 \psi_1(z + 1) = \psi_1(z) - \frac{1}{z^2}

y la fórmula de reflexión:

 \psi_1(1 - z) + \psi_1(z) = \pi^2\csc^2(\pi z). \,

Valores especiales[editar]

La función trigamma tiene los siguientes valores especiales:

 \psi_1\left(\frac{1}{4}\right) = \pi^2 + 8K
 \psi_1\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{2}
 \psi_1(1) = \frac{\pi^2}{6}

donde K representa la constante de Catalan.

Véase también[editar]

Referencias[editar]