Función compuesta

g ∘ f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g ∘ f)(a)=@.

En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Definición

De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.

${\begin{array}{ccccc}X&\rightarrow &Y&\rightarrow &Z\\x&\mapsto &f(x)&\mapsto &g(f(x))\end{array}}$

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:

Propiedades

• La composición de funciones es asociativa, es decir:

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

$(g\circ f)\neq (f\circ g)$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

• La composición de una función y su reciproco es:

$f\circ f^{-1}=identidad$

Por ejemplo dadas las funciones: f(x)=2x+3 y su reciproco f^{-1}(x) = (x-3)/2 tenemos

$(f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=2((x-3)/2)+3=x$

donde tenemos que x= id(x)

Ejemplo

Sean las funciones:

$f(x)=x^{2}\,$

$g(x)=\sin(x)\,$

La función compuesta de g y de f que expresamos:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(\sin(x))^{2}=\sin ^{2}(x)\,$

La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

$z=g(x)=\sin(x)\,$

y después aplicamos f a z para obtener

$y=f(z)=z^{2}=\sin ^{2}(x)\,$

Función bien definida

La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:dxf

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

Enlaces externos

• Composición de funciones (ampliación).
• Weisstein, Eric W. «Composition». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Composition en PlanetMath.