Factorización de matrices

En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.

Según las aplicaciones de la factorización podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Las siguientes factorizaciones se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes e inversión de matrices.

Factorización LU

• Aplicable a: una matriz cuadrada A
• Factorización: $A=LU$, donde L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior
• Notas: La factorización LU expresa el método de Gauss en forma matricial. En efecto, PA = LU donde P es una matriz de permutación. Los elementos de la diagonal principal de L son todos iguales a 1. Una condición suficiente de que exista la factorización es que la matriz A sea invertible.
• Resolución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b: primero se resuelve el sistema de ecuaciones Ly = b y después Ux = y.
• Existencia: Una condición necesaria y suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.​
• Métodos de cálculo: método de Crout que obtiene una matriz U cuyos elementos de la diagonal son todos 1. El método de Doolittle es una modificación del mismo.

Factorización $LDL^{T}$

• Aplicable a: una matriz simétrica A.
• Factorización: $A=LDL^{T}$ donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y $L^{T}$ denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
• Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
• Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.

Factorización de Cholesky

• Aplicable a: una matriz simétrica definida positiva A
• Factorización: $A=LL^{T}$, donde L es una matriz triangular inferior con entradas en la diagonal positivas.
• Notas: La factorización siempre existe y es única.

Factorización QR o triangularización ortogonal

• Aplicable a: una matriz A m por n.
• Factorización: $A=QR$ donde Q es una matriz ortogonal m por m, y R es una matriz triangular superior m por n.
• Métodos de cálculo: La factorización QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las columnas de A, mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens.
• Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.

Descomposición en valores singulares

• Aplicable a: una matriz A m-por-n.
• Factorización: $A=U\Sigma V^{T}$, donde Σ es una matriz diagonal mxn, y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente, siendo $V^{T}$ la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
• Notas: a la matriz $V\Sigma ^{+}U^{T}$, donde $\Sigma ^{+}$ es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.

Otros tipos de factorizaciones

Diagonalización de una matriz

• Aplicable a: una matriz cuadrada A
• Factorización: A = CDC^-1
• Existencia:

Forma canónica de Jordan

• Aplicable a: una matriz cuadrada B
• Factorización:

Factorización de rango

• Aplicable a: una matriz A de dimensiones $m\times n$
• Factorización: $A=CF$, donde $C$ es una matriz $m\times r$ y $F$ es una matriz $r\times n$

Factorización de Schur

• Aplicable a: una matriz cuadrada A
• Factorización:

Tridiagonalización

• Aplicable a: una matriz cuadrada simétrica A
• Factorización:

Bibliografía

• De La Fuente O'Connor, José Luis (1998). Técnicas de cálculo para Sistemas de Ecuaciones, Programación Lineal y Programación Entera. Barcelona: Reverté, S.A. ISBN 978-84-291-2606-8. 

• Datos: Q1361088