Factorización de Schur

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En álgebra lineal, la descomposición de Schur o triangulación de Schur (así llamada por el matemático alemán Issai Schur) es una importante descomposición matricial.

Definición[editar]

Si A es una matriz cuadrada sobre números complejos, entonces A puede descomponerse como

A= QUQ^*, \,

donde Q es una matriz unitaria, Q* es la traspuesta conjugada de Q, y U es una matriz triangular superior cuyas entradas diagonales son exactamente los autovalores de A.

Notas[editar]

Toda matriz cuadrada tiene una descomposición de Schur, y por lo tanto, toda matriz cuadrada es unitariamente equivalente a una matriz triangular (de hecho, Q*AQ = U). Sin embargo, esta descomposición no es única.

Escríbase a la matriz triangular U como U = D + N, donde D es diagonal y N es estrictamente triangular superior (y por lo tanto nilpotente). La matriz diagonal D contiene los autovalores de A en orden arbitrario. Más aún, la parte nilpotente N en general tampoco es única, pero su norma de Frobenius queda determinada unívocamente por A.

Si A es una matriz normal, entonces U es incluso una matriz diagonal y los vectores columna de Q son los autovectores de A. En este caso, la descomposición de Schur se llama descomposición espectral. Más aún, si A es definida positiva, la descomposición de Schur de A es la misma que la descomposición en valores singulares de la matriz.

Una familia conmutativa de matrices puede triangularizarse simultáneamente. Esto significa que, dadas varias matrices conmutativas A1, …, An, existe una matriz unitaria Q tal que las matrices Q*A1Q, …, Q*AnQ son todas triangular superiores.

Construcción de la descomposición de Schur[editar]

Algunos algoritmos en álgebra lineal numérica requieren un método para calcular una descomposición de Schur de una matriz. Esto puede hacerse siguiendo el siguiente procedimiento, que además demuestra que una descomposición de Schur es posible.

Dada la matriz A de orden n por n, encuentra un autovalor λ1 de A con el correspondiente autovector v1 de norma 1. Elige n-1 vectores w2, …, wn, tales que el conjunto

 v_1, w_2, w_3, \ldots, w_n \,

sea una base ortonormal para Cn. Si V1 denota la matriz con estos vectores como columnas, entonces

 V_1^* A V_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{bmatrix}

donde A_1 es una matriz (n-1) por (n-1).

Ahora repetimos este proceso con A1: esto da una matriz unitaria V2 tal que

 V_2^* A_1 V_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 & * \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}

donde A_2 es una matriz (n- 2) por (n- 2). Por tanto,

 Q_2^* A Q_2 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * \\ 0 & \lambda_2 & * \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix}, \quad\mbox{donde } Q_2 = V_1 \hat{V}_2 \mbox{ con } \hat{V}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}.

Continuando este proceso, uno encuentra las matrices V3, …, Vn. Finalmente, la matriz U = Q*AQ con

 Q = V_1 \hat{V}_2 \hat{V}_3 \cdots \hat{V}_n

es triangular superior, así A = QUQ* es una descomposición de A.