Factorización de matrices

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En álgebra lineal la factorización de una matriz es la descomposición de la misma como producto de dos o más matrices según una forma canónica.

Según las aplicaciones de la factorización podemos distinguir los siguientes tipos de factorizaciones:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales[editar]

Las siguientes factorizaciones se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de determinantes e inversión de matrices.

Factorización LU[editar]

Factorización LDL^T[editar]

  • Aplicable a: una matriz simétrica A.
  • Factorización: A=LDL^T donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y L^T denota su matriz traspuesta. La factorización es única.
  • Existencia: Una condición suficiente es que todos los menores principales de A sean distintos de cero.
  • Notas: Si la matriz es definida positiva la factorización existe y es única siendo los elementos de la diagonal positivos.

Factorización de Cholesky[editar]

Factorización QR o triangularización ortogonal[editar]

  • Aplicable a: una matriz A m por n.
  • Factorización: A=QR donde Q es una matriz ortogonal m por m, y R es una matriz triangular superior m por n.
  • Métodos de cálculo: La factorización QR puede calcularse mediante el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt aplicado a las columnas de A, mediante el uso de transformaciones de Householder y mediante transformaciones de Givens.
  • Notas: La factorización QR puede utilizarse para "resolver" el sistema de ecuaciones lineales Ax = b cuando el número de ecuaciones es distinto al de incógnitas.

Descomposición en valores singulares[editar]

  • Aplicable a: una matriz A m-por-n.
  • Factorización: A=U\Sigma V^T, donde Σ es una matriz diagonal mxn, y U y V son matrices ortogonales mxm y nxn respectivamente, siendo V^T la traspuesta de V. Los elementos de la diagonal de Σ son los valores singulares de A y son mayores o iguales a cero.
  • Notas: a la matriz  V \Sigma^+ U^T, donde  \Sigma^+ es igual a la matriz Σ reemplazando los valores singulares por sus recíprocos, se le llama pseudoinversa de A.

Otros tipos de factorizaciones[editar]

Diagonalización de una matriz[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:
  • Existencia:

Forma canónica de Jordan[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:

Factorización de rango[editar]

  • Aplicable a: una matriz A de dimensiones m \times n
  • Factorización: A=CF, donde C es una matriz m \times r y F es una matriz r \times n

Factorización de Schur[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada A
  • Factorización:

Tridiagonalización[editar]

  • Aplicable a: una matriz cuadrada simétrica A
  • Factorización:

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]