Factorización de rango

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Dada una matriz A, de dimensiones m \times n y de rango r, una factorización de rango de A es un factorización de la forma A=CF, donde C es una matriz m \times r y F es una matriz r \times n.

Para construir una factorización de este tipo se puede calcular B, la forma escalonada reducida de A. Entonces C se obtiene eliminando de A todas las columnas que no son columnas pivote, y F eliminando todas las filas de ceros de B.

metal

Demostración[editar]

Sea P una matriz n\times n de permutación tal que AP=(C,D) en en forma de bloques, donde las columnas de C son las r columnas pivote de A. Cada columna de D es una combinación lineal de las columnas de C, luego hay una matriz G tal que D=CG, donde las columnas de G contienen los coeficientes de cada una de esas combinaciones lineales. Así pues, AP=(C,CG)=C(I_r,G), siendo I_r la matriz identidad r\times r. Mostraremos a continuación que (I_r,G)=FP.

Transformar AP en su forma escalonada reducida equivale a multiplicar por la izquierda por una matriz E que es un producto de matrices elementales, con lo que EAP=BP=EC(I_r,G), donde EC=\begin{pmatrix} I_r \\ 0 \end{pmatrix}. Podemos entonces escribir BP=\begin{pmatrix} I_r & G \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, lo que nos permite identificar (I_r,G)=FP, es decir, las r filas no nulas de la forma escalonada reducida, con la misma permutación de columnas que aplicamos a la matriz A. Tenemos, por tanto, que AP=CFP, y como P es invertible, esto implica que A=CF, lo que completa la prueba.

Referencias[editar]

  • Lay, David C. (2005), Linear Algebra and its Applications (3rd edición), Addison Wesley, ISBN 978-0201709704 
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations, Johns Hopkins Studies in Mathematical Sciences (3rd edición), The Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0801854149 
  • Stewart, Gilbert W. (1998), Matrix Algorithms. I. Basic Decompositions, SIAM, ISBN 978-0-898714-14-2