Ley de Ampère

Una corriente eléctrica produce un campo magnético, siguiendo la Ley de Ampère.

En física del magnetismo, la ley de Ampère, descubierta por André-Marie Ampère en 1826,​ relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica.

Ley de Ampère original

En su forma original, la Ley de Ampère relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica que lo genera. La Ley se puede escribir de dos maneras, la "forma integral" y la "forma diferencial ". Ambas formas son equivalentes, y se relacionan por el teorema de Stokes.

Forma integral

Dada una superficie abierta $S$ por la que atraviesa una corriente eléctrica $I$, y dada la curva $C$, curva contorno de la superficie $S$, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

$\oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=\int \!\!\!\!\int _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}=I_{\mathrm {enc} }$

donde

${\vec {H}}$ es el campo magnético,

$I_{\mathrm {enc} }\,$ es la corriente encerrada en la curva $C$,

Y se lee: La circulación del campo ${\vec {H}}$ a lo largo de la curva $C$ es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta $S$, de la cual $C$ es el contorno.

En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico.

Definición:

${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}$

${\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {H}}+{\vec {M}})$

${\vec {B}}=\mu _{0}(1+\chi _{m}){\vec {H}}=\mu _{0}\mu _{r}{\vec {H}}=\mu {\vec {H}}$

donde

${\vec {B}}$ es la densidad de flujo magnético,

$\mu _{0}\,$ es la permeabilidad magnética del vacío,

$\mu _{r}\,$ es la permeabilidad magnética del medio material,

Luego, $\mu =\mu _{0}\mu _{r}\,$ es la permeabilidad magnética total.

${\vec {M}}$ es el vector magnetización del material debido al campo magnético.

$\chi _{m}\,$ es la susceptibilidad magnética del material.

Un caso particular de interés es cuando el medio es el vacío ($\mu =\mu _{0}\,$ o sea, ${\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {H}}\$):

$\oint _{C}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$

Forma diferencial

A partir del teorema de Stokes, esta ley también se puede expresar de forma diferencial:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}$

donde

${\vec {\nabla }}\times$ es el operador rotacional

${\vec {J}}$ es la densidad de corriente que atraviesa el conductor.

Ampliación de la ley original: Ley de Ampère-Maxwell

La ley de Ampère-Maxwell o ley de Ampère generalizada es la misma ley corregida por James Clerk Maxwell que introdujo la corriente de desplazamiento, creando una versión generalizada de la ley e incorporándola a las ecuaciones de Maxwell.

Forma integral

$\oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=\iint _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+{d \over dt}\iint _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}$

siendo el último término la corriente de desplazamiento.

Forma diferencial

Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

o para medios materiales:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$

Ejemplos de Aplicación

Hilo Conductor Infinito

Campo magnético creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente $I_{0}\,$, en el vacío.

El objetivo es determinar el valor de los campos ${\vec {H}}$, ${\vec {B}}$ y ${\vec {M}}$ en todo el espacio.

Escribimos la Ley de Ampère:

$\oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I_{enc}$.

• Utilizamos coordenadas cilíndricas por las características de simetría del sistema.
• Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio $\rho$.
• El diferencial de longitud de la curva será entonces $d{\vec {l}}=dl{\hat {\phi }}=rd\phi {\hat {\phi }}$
• Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor: $I\,$

$\oint _{Circ}{\vec {H}}\cdot \rho \cdot d\phi {\hat {\phi }}=I_{0}$.

• Como el sistema posee simetría radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia $C\,$ de otro que esté en otro ángulo sobre la misma curva), podemos decir que el campo ${\vec {H}}$ y el radio $\rho$ son independientes de la coordenada $\phi \,$. Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunferencia, desde 0 a $2\pi$.

${\vec {H}}\cdot \rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d{\vec {\phi }}=I_{0}$.

• La integral que queda no es más que el perímetro de la circunferencia: $2\pi \rho \,$.
• Despejamos ${\vec {H}}$ y nos queda en función de $\rho$. La dirección es en ${\hat {\phi }}$, por la regla de la mano derecha:

${\vec {H}}(\rho )={\frac {I_{0}}{2\pi \rho }}{\hat {\phi }}$

• Como estamos trabajando en el vacío, $\mu =\mu _{0}$, por lo tanto:

${\vec {B}}(\rho )={\frac {\mu _{0}I_{0}}{2\pi \rho }}{\hat {\phi }}$

• Y por la misma razón, en ausencia de materiales magnéticos:

${\vec {M}}(\rho )=0$

Forma del ángulo sólido

Si c es un lazo cerrado por el cual circula una corriente i, y Ω es el ángulo sólido formado por el circuito y el punto en el que se calcula el campo, entonces la intesidad de campo magnético está dada por:

${\vec {H}}=i\,{\vec {\nabla }}\,\Omega$

Véase también

• Campo magnético
• André-Marie Ampère
• Ecuaciones de Maxwell
• Teorema de la divergencia

Referencias

• Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5ª ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0810-8.
• Tipler, Paul (2005). "Física para la ciencia y la tecnología). 5 edición. (Editorial Reverte)