Dependencia e independencia lineal

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R³, los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) son linealmente independientes, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo son, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Definición

Sea {v₁, v₂,..., v_n} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a₁, a₂,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo. El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula.

Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.

Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:

Un conjunto de vectores U de un espacio vectorial es linealmente independiente si ∀ $u\in U,u\not \in \left\langle U-u\right\rangle$

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente indepedientes y generan a un espacio vectorial, forman una base para dicho espacio.

Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos:

1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás.
2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es.

Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros.

1. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente también lo es todo conjunto que lo contenga.

Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande sigue siendo linealmente dependiente.

Significación geométrica

Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección (con sentidos idénticos u opuestos). Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones.

Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores).

El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...).

Ejemplo

En el espacio tridimensional usual:

• u y j son dependientes por tener la misma dirección (y sentidos opuestos).
• u y v son independientes y definen el plano P.
• u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
• u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
• Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k

Ejemplo del uso de la fórmula f:

¿Son los tres vectores siguientes independientes?

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {w}}={\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}}$

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

$x{\vec {u}}+y{\vec {v}}+z{\vec {w}}=x{\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

$\left.{\begin{matrix}2x&+&y&+&z&=&0\\&&3y&+&2z&=&0\\&&&&4z&=&0\end{matrix}}\right\}\Longleftrightarrow \left\{{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=0\end{matrix}}\right.$

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Método alternativo usando determinantes

Un método alternativo usa el hecho que n vectores en Rⁿ son linealmente dependientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es cero.

Dados los vectores:

${\vec {u}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {v}}={\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}\,,\quad$

La matriz formada por éstos es:

$A={\begin{bmatrix}1&1\\-3&2\end{bmatrix}}.\,$

El determinante de esta matriz es:

$\det(A)=(1\cdot 2)-(1\cdot (-3))=5\neq 0.$

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.

Ejemplo II

Sea V = Rⁿ y consideremos los siguientes elementos en V:

${\begin{matrix}\mathbf {e} _{1}&=&(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=&(0,1,0,\ldots ,0)\\&\vdots \\\mathbf {e} _{n}&=&(0,0,0,\ldots ,1).\end{matrix}}$

Entonces e₁, e₂,..., e_n son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R.

Demostración

Supongamos que a₁, a₂,..., a_n son elementos de R tales que:

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=0\,$

Pero

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\,$

entonces a_i = 0 para todo i en {1,..., n}.

Ejemplo III

Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones e^t y e^2t en V son linealmente independientes.

Demostración

Supongamos que a y b son dos números reales tales que:

ae^t + be^2t = 0

Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por e^t (lo cual nunca es cero) y restando obtenemos:

be^t = −a

En otras palabras, la función be^t debe ser independiente de t, lo cual ocurre cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero.

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