Curva

En matemáticas, el concepto de curva, es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.

Definiciones

En geometría, una curva en el n-espacio euclideano es un conjunto ${\mathcal {C}}\subset \mathbb {R} ^{n}$ que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación diferenciable $\mathbf {x} \colon \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}$, i.e:

${\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}$

donde suele decirse que ($\mathbf {x} ,\mathrm {I}$) es una representación paramétrica o parametrización de ${\mathcal {C}}$.

Con el objetivo de evitar auto intersecciones, puntos singulares y a los extremos, se define el concepto de curva simple como aquella curva tal que para todo punto p existe un Ω entorno abierto de p para el cual $\Omega \cap {\mathcal {C}}$ admite una representación de clase $C^{k}$ con $k\geq 1$.

El diccionario de la Real Academia Española de la Lengua la define en su página web, de la siguiente manera: 1. f. Geom. La que no es recta en ninguna de sus porciones.

Geometría diferencial de curvas en R³

La geometría diferencial de curvas propone definiciones y métodos para analizar curvas simples en el espacio euclídeo tridimensional o, más generalmente, curvas contenidas en variedades de Riemann. En particular, en el espacio euclídeo tridimensional $\mathbb {R} ^{3}$, una curva de la que se conoce un punto de paso y el vector tangente en dicho punto, queda totalmente descrita por su curvatura y torsión. Esta curvatura y torsión pueden estudiarse mediante el llamado triedro de Frênet-Serret, que se explica a continuación.

Vectores tangente, normal y binormal

Vista esquemática del vector tangente (azul), vector normal (verde) y vector binormal (rojo) de una curva hélice.

Dada una curva parametrizada r(t) según un parámetro cualquiera t se define el llamado vector tangente, binormal y normal como:

$\mathbf {t} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\right\|}}$

$\mathbf {b} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)}{\left\Vert \mathbf {r} '(t)\times \mathbf {r} ''(t)\right\|}}$

$\mathbf {n} (t)=\mathbf {b} (t)\times \mathbf {t} (t)$

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos configuran un sistema de referencia móvil conocido como triedro de Frênet-Serret. Es interesante que para una partícula física desplazándose en el espacio, el vector tangente es paralelo a la velocidad, mientras que el vector normal da el cambio dirección por unidad de tiempo de la velocidad o aceleración normal.

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre curvas.
• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre curva.
• CURVAS: Software graficador de funciones matemáticas
• Calcular intersección de curvas en Excel