Teoría de las catástrofes

La Teoría de las catástrofes es el intento de desarrollar un sistema matemático o un modelo dinámico continuo que pueda representar fenómenos naturales discontinuos y que por su discontinuidad no pueden ser descritos por el cálculo diferencial de manera satisfactoria, en tal sentido es un modelo matemático de la morfogénesis. Planteada a finales de los 1950s por el matemático francés René Thom, —especializado en topología diferencial— y muy difundida a partir de 1968; en la década de los 1970s tuvo gran auge al ser impulsada por los estudios de Christopher Zeeman.
La teoría de las catástrofes puede ser entendida como una rama de la teoría de la bifurcación dedicada al estudio de sistemas dinámicos, resulta asimismo un caso particular de un modo más general de la teoría de la singularidad, por su parte su nexo con el equilibrio estable hace que se pueda considerar relacionada con una función de Lyapunov.

Una premisa de la teoría de las catástrofes es que a partir del modelo dinámico continuo más simple se podría generar una morfología matemática que de cuenta empírica de los fenómenos considerados discontinuos. Se ha intentado aplicar la teoría de las catástrofes en biología, psicología y sociología e incluso en economía aunque la extrapolación a tales disciplinas es desusada por ser considerada poco práctica. Un ejemplo de catástrofe es cuando un metal se rompe a elevada temperatura.

Más precisamente se trata de estudiar cualitativamente las soluciones de las ecuaciones dependiendo del número de parámetros que éstas contienen. El término catástrofe designa el lugar donde una función cambia brúscamente de forma o configuración.

Un aspecto interesante de la teoría de las catástrofes se encuentra en el contraste con el tratamiento usual de las ecuaciones diferenciales al tener en cuenta las funciones correspondientes a las singularidades, es decir las variaciones instantáneas.

Thom ha sugerido el empleo de la teoría topológica de los sistemas dinámicos a partir de los estudios efectuados por Henri Poincaré, para modelizar las mutaciones, crisis o discontinuidades que se presentan con cierta frecuencia en los fenómenos naturales, notoriamente en biología. Ejemplos significativos de cambios imprevistos causados por pequeñas alteraciones de los parámetros de un sistema son las transiciones de fase, los seísmos los colapsos estructurales y, se considera incluso los derrumbes en los mercados financieros aunque tales extrapolaciones pueden llegar a ser exageradas.

Thom, entre otros, ha evidenciado la importancia de la estabilidad estructural , entendida como "insensibilidad del sistema a pequeñas perturbaciones", resaltando el hecho de que tal requisito implica que el sistema mismo puede ser descrito localmente en siete formas estándar, las llamadas "catástrofes elementales".

En el lenguaje matemático, una "catástrofe" es un punto crítico (o estacionario o singular) devenido en anómalo (o irregular) de una superficie lisa (o derivable) que se encuentra definida en un espacio euclídeo de n dimensiones; en cuanto tales puntos corresponden a bifurcaciones radicales en el comportamiento del sistema. Por ejemplo en el caso n=2 es fácil demostrar que, para las curvas lisas existen solo tres tipologías de puntos críticos, es decir los puntos de máximo local y mínimo local y los puntos de flexión o inflexión: mientras los extremos locales representan puntos críticos no anómalos, los de flexión son en cambio puntos anómalos y por esto representan catástrofes matemáticas.

Este modo de aproximación al análisis de los fenómenos complejos se basa en una constatación teórica relevante, por ejemplo en la experiencia con un recipiente continente de diversas sustancias químicas: en un tiempo relativamente breve se llega a equilibrios dinámicos que dependen de las condiciones iniciales del preparado, para el cual por ejemplo, según las dosis iniciales los posibles dominios de equilibrio pueden ser 2.

Así claramente tras una condición inicial que lleva al equilibrio 1, y aquella que lleva al equilibrio 2, existen condiciones iniciales (inestables) para las cuales no resulta posible prever si el resultado será 1 o será 2, en estos casos se dice que el sistema está en "condiciones catastróficas" en el sentido que una pequeña variación de las concentraciones iniciales en una dirección o en otra puede comportar fuertes diferencias sobre los resultados finales. El descubrimiento de Thom aquí consiste en que los puntos de inestabilidad o críticos no están sujetos a configuraciones caóticas sino sujetos a formas topológicas estables y repetibles que, por otra parte, son asimismo independientes del sustrato en el sentido que las formas de estabilidad del caos son independientes del fenómeno analizado (sea físico, químico, histórico, psicológico etc.).

Teorema de la clasificación

La conclusión más conocida obtenida por Thom es que existen 7 formas posibles de "catástrofes" para todas las ecuaciones que tengan más de cuatro parámetros. cada una de estas formas recibe el nombre en relación a su forma "elemental".:

Catástrofes elementales (el nombre les ha sido dado por el mismo R.Thom):

• El pliegue o flexión (para un parámetro en entrada y uno en salida) : $y=x^{3}+ax$
• fruncido o cúspide (para dos parámetros) : $y=x^{4}+ax^{2}+bx$
• la cola curvada : $y=x^{5}+ax^{3}+bx^{2}+cx$
• el ombligo hiperbólico ("la onda" o "portafolios") : $z=x^{3}+y^{3}+axy+bx+cy$
• el ombligo elíptico ("el pelo" o pirámide") : $z=x^{3}/3-xy^{2}+a(x^{2}+y^{2})+bx+cy$
• la mariposa : $y=x^{6}+ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx$
• el ombligo parabólico ("el hongo") : $z=x^{2}y+y^{4}+ax^{2}+by^{2}+cx+dy$

Con más de 5 parámetros existen 11 formas de "catástrofes". Cuando son 6 o más parámetros la clasificación de las catástrofes deviene infinita con una infinidad de 'módulos'.

Notación de Arnol'd

Debido a la íntima relación con los grupos de Lie simples, Vladimir Arnol'd dio a la teoría de las catástrofes una clasificación ADE:

• A₀ - un punto no singular: $V=x$.
• A₁ - un punto local extremo, ya sea estable mínimo o inestable máximo $V=\pm x^{2}+ax$.
• A₂ - la tapa o portafolios
• A₃ - la cúspide
• A₄ - la cola curva
• A₅ - la mariposa
• A_k - una secuencia infinita de una forma variable $V=x^{k+1}+\cdots$
• D₄^- - el ombligo elíptico
• D₄⁺ - el ombligo hiperbólico
• D₅ - el ombligo parabólico
• D_k - una secuencia infinita de nuevas formas umbilicales
• E₆ - el ombligo simbólico $V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy+ey^{2}$
• E₇
• E₈

Existen objetos en la teoría de la singularidad que corresponden a la mayoría de los otros grupos simples de Lie.

Aplicaciones

Sus aplicaciones son en principio la de simulaciónes de objetos naturales.

También se aplica en : geología, mecánica, hidrodinámica, óptica geométrica, fisiología, biología, lingüística.

Erik Christopher Zeeman de un modo controversial ha considerado su aplicación en las ciencias humanas.

La teoría de las catástrofes constituye un importante anticipo de la actual teoría del caos y de la teoría de los sistemas disipativos desarrollada por Ilya Prigogine.

Véase también

• 58K35
• Singularidad (matemática)
• Teoría de las singularidades o de la singularidad
• Ouca(ta)po
• Caos
• Caos ordenado
• Sistémica
• Teoría del caos
• René Thom
• Ruptura de simetría
• Punto de inflexión
• Transición de fase o Fase de transición
• Efecto dominó
• Efecto bola de nieve
• Efecto mariposa
• Ruptura espontánea de simetría
• E8 (matemáticas)

Bibliografía

• René Thom, Stabilité structurelle et morphogénèse, Interédition, París, 1977
• (en inglés) Vladimir Arnol'd. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

Enlaces externos

• La Recherche N° 81 Septembre 1977, Volume 8, Pages 745-754 (Ivar Ekeland) este artículo didáctico contiene las figuras, sin embargo poseería un lapsus a partir del artículo de Ekeland : la clasificación de las catástrofes elementales es definida (con 11 formas como se indica) cuando 5 parámetros están presentes. De este modo el teorema de Thom carecería de una explicación posible en nuestro espacio-tiempo de tres dimensiones espaciales y una temporal.
• (En italiano) L'origine e il significato della teoría delle catastrofi/El origen y el significado de la teoría de las catástrofes
• Ernesto Salinelli: La Teoria delle catastrofi [en italiano]