Distribución de probabilidad

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada evento definido sobre la variable aleatoria una probabilidad. La distribución de probabilidad describe el rango de valores de la variable aleatoria así como la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria esté dentro de un subconjunto de dicho rango.

Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.

Definición de función de distribución

Dada una variable aleatoria $X$, se define su función de distribución, $F_{X}(x)$, por:

$F_{X}(x)=P(X\leq x)$

Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice $X$, y se escribe simplemente $F(x)$.

Propiedades

De las propiedades de la probabilidad se deducen las siguientes propiedades de la función de distribución:

1. $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ y $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$
2. Es continua por la derecha.
3. Es monótona no decreciente.
4. Para dos números reales cualesquiera $a$ y $b$

$P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$

Distribuciones de variable discreta

Distribución binomial.

Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de $X$ finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de probabilidad, por lo que tenemos entonces que:

$F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=-\infty }^{x}f(k)$

Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde $-\infty$ hasta el valor $x$.

Distribuciones de variable discreta más importantes

Las distribuciones de variable discreta más importantes son las siguientes:

• Distribución binomial
• Distribución binomial negativa
• Distribución Poisson
• Distribución geométrica
• Distribución hipergeométrica
• La distribución de Bernoulli, que toma el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad $q=1-p$.
• La distribución Rademacher, que toma el valor 1 con probabilidad 1 / 2 y el valor -1 con probabilidad 1 / 2.
• La distribución binomial, que describe el número de éxitos en una serie de independientes Sí / No experimentos.
• La distribución degenerar en x0, donde X es cierto para tener el valor x0. No tiene el aspecto al azar, sino que responde a la definición de variable aleatoria. Esto es útil porque pone determinista variables y variables aleatorias en el mismo formalismo.
• La distribución uniforme discreta, donde todos los elementos de un conjunto finito son igualmente probables. Esto se supone que es la distribución de una moneda equilibrada sin ningún sesgo, una ruleta de casino o la primera tarjeta de una baraja bien cubierta. Además, se puede utilizar la medición de estados cuánticos uniforme para generar variables aleatorias. Todos estos son "física" o "mecánicos" dispositivos, sujetos a defectos de diseño o las perturbaciones, por lo que la distribución uniforme es sólo una aproximación de su comportamiento. En ordenadores digitales, pseudo-generadores de números aleatorios se utilizan para la producción de una estadística aleatoria discreta distribución uniforme.
• La distribución hypergeometric, que describe el número de éxitos en los primeros m de una serie de n independiente Sí / No experimentos, si el número total de éxitos es conocido.

Distribuciones de variable continua

Distribución normal.

Se denomina variable continua a aquella que puede tomar cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo. En el caso de variable continua la distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos entonces que: por ejemplo; si se trata de los pesos de los seres humanos, al tomar x como la variable que representa el peso de una persona escogida al azar, su peso real puede ser un número entre 0 y 200kg. es decir, la respuesta de la varible x se halla en ese rango y puede ser cualquier numero de estos. sin embargo lo mas probable es que ud registre 68kg, por ejemplo. y si continua con una segunda persona registrara posiblemente 70kg, etc.; al hacer el registro de esta manera, puede caer en la falsa creencia de que se trata de una varible discreta, pero no es asi.

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt$

Distribuciones de variable continua más importantes

Las distribuciones de variable continua más importantes son las siguientes:

• Distribución ji cuadrado
• Distribución exponencial
• Distribución t de Student
• Distribución normal
• Distribución Gamma
• Distribución Beta
• Distribución F

Enlaces externos

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