En matemáticas, se conoce como desigualdad entre media aritmética y geométrica, o MA-MG, aquella desigualdad que establece que la media aritmética de un conjunto de números reales positivos es mayor o igual que la media geométrica del mismo conjunto, cumpliéndose únicamente la igualdad cuando todos los elementos del conjunto sean iguales.
La media aritmética de un conjunto de números reales
es igual a la suma dividida por el número total de elementos,
La media geométrica de un conjunto de reales no negativos
, es igual a la raíz enésima del producto de todos ellos:
La desigualdad
Sea
entonces
La igualdad se cumple si y sólo si
.
Demostración por inducción
Para demostrar la desigualdad MA-MG, se desarrollará por una variante del método de inducción matemática, demostrando que la MA-MG es cierta para 2 elementos, luego generalizándolo para 2n elementos y demostrando que si es cierta para n es cierta para n-1 elementos (variante "adelante-atrás" según Augustin Louis Cauchy).
Sea
un conjunto de n elementos.
Procedemos a considerar el primer paso en que n=2:
Quedando así demostrado para n=2, luego se demuestra que si es cierta para n es cierta para 2n elementos.
Siguiendo la hipótesis,
Se sigue que,
Siendo esto igual a,
Quedando así demostrado que si es cierto para n elementos es cierto para 2n elementos.
Ahora procedemos a demostrar que si es cierta para n elementos es cierta para n-1 elementos,
Sean
y
Se considera la desigualdad de todos los elementos mencionados,
Haciendo raíz n-1-ésima se sigue,
Quedando así demostrado por el método inductivo, la veracidad de la desigualdad MA-MG.
Q.E.D.
Véase también
Referencias
- Oleksandr, karlein.Rondero Guerrero, Carlos.Tarasenko, Anna. (2008). Desigualdades, métodos de cálculo no tradicionales". Díaz de Santos. ISBN 978-84-7978-807-0