La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p\in M$ , llamaremos derivación en el punto $p_{}^{}$ a

\forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R}

aplicación

\mathbb {R} -

lineal, es decir:

\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,

$\delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},$

$\delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.$

y tal que

\delta _{p}(f\cdot g)=

\delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),

\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)

, es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

{\mathcal {F}}(M)

es el conjunto de funciones diferenciables en

M_{}^{}

, y es un

\mathbb {R} -

álgebra conmutativa, (es un

\mathbb {R} -

espacio vectorial).

f_{|p}^{}

es equivalente a

f(p)_{}^{}

, es decir,

f_{}^{}

evaluado en el punto

p_{}^{}.

Ejemplos de derivación

La derivada parcial

Sea $M=\mathbb {R} ^{n}$ y $p\in M$ , veamos que la aplicación siguiente es derivación:

{\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}

Demostración:

Veamos primero que es

\mathbb {R} -

lineal, es decir, que

\forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R}

vemos que:

${\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},$

${\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.$

Veamos finalmente que es una derivación:

{\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.

Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional

Sea $M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1$ , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

{\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.

Definiciones

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable y $p\in M$ , llamaremos espacio tangente a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ al $\mathbb {R} -$ espacio vectorial de las derivaciones de $M_{}^{}$ en $p_{}^{}$ , notado por ${\mathcal {T}}_{p}M$ , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a $M_{}^{}$ en $p_{}^{}.$

Consecuencias

Propiedad de la derivación de una función localmente constante

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M$ , $\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ y $f\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\exists {}U_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f(x)=\lambda$ , $\forall x\in M$ , entonces tenemos que $\delta _{p}^{}f=0.$

Demostración:

Por linealidad de

\delta _{p}^{}

tenemos

\delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=

\lambda \delta _{p}(1),

aquí aplicando la condición de derivación a

\delta _{p}^{}(1)

tenemos

\delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=

\delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=

\delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),

de simplificar, este último, resulta

\delta _{p}^{}(1)=0

aplicadolo al anterior resulta que

\delta _{p}^{}(f)=0.

Ejemplo

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase ${\mathcal {C}}^{\infty }$ :

la función meseta $\rho$ asociada a $(p,V)_{}^{}$ , donde $\rho (x)=1,$ $\forall x\in k\subset V,\;k$ compacto cuyo interior contiene a $p_{}^{}.$

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ , $f\in {\mathcal {F}}(M)$ y $\rho$ una función meseta asociada a $(p,V)_{}^{}$ , tenemos que:

\delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que

\delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=

\delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)

, por la propiedad anterior tenemos que

\ delta_{p}^{}(\rho \cdot f)=

0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=

\delta _{p}^{}(f).

Propiedad

Sea $M_{}^{}$ una variedad diferenciable, $p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M$ y $f,g\in {\mathcal {F}}(M)$ tal que $\exists {}V_{}^{}$ entorno abierto en $p_{}^{}$ donde $f_{|V}^{}=g_{|V}$ , entonces tenemos que $\delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)$ .