Derivación (matemática)

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Derivación.gif

La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación[editar]

Sea una variedad diferenciable y , llamaremos derivación en el punto a

aplicación lineal, es decir:
y tal que , es decir, que cumple la regla de Leibniz.
Observación
es el conjunto de funciones diferenciables en , y es un álgebra conmutativa, (es un espacio vectorial).
es equivalente a , es decir, evaluado en el punto

Ejemplos de derivación[editar]

La derivada parcial[editar]

Sea y , veamos que la aplicación siguiente es derivación:



Demostración
Veamos primero que es lineal, es decir, que vemos que:
Veamos finalmente que es una derivación:
Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional[editar]

Sea , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

Derivación en variedades[editar]

PlanoTangente.png

Sea una variedad diferenciable y , llamaremos espacio tangente a en al espacio vectorial de las derivaciones de en , notado por , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a en

Consecuencias[editar]

Propiedad de la derivación de una función localmente constante[editar]

Sea una variedad diferenciable, , y tal que entorno abierto en donde , , entonces tenemos que

Demostración
Por linealidad de tenemos
aquí aplicando la condición de derivación a tenemos
de simplificar, este último, resulta aplicadolo al anterior resulta que

Ejemplo[editar]

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase :

  • la función meseta asociada a , donde compacto cuyo interior contiene a

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta[editar]

Sea una variedad diferenciable, , y una función meseta asociada a , tenemos que:

Demostración
Aplicando la regla de Leibniz tenemos que , por la propiedad anterior tenemos que

Propiedad[editar]

Sea una variedad diferenciable, y tal que entorno abierto en donde , entonces tenemos que .

Demostración
Sea una función meseta asociada a , tenemos así que en todo también por tanto y por la propiedad anterior tenemos que

Tipos de derivaciones[editar]

En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.