Derivada de Lie

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En matemática, una derivada de Lie es una derivación en el álgebra de funciones diferenciables sobre una variedad diferenciable \scriptstyle \mathcal{M}, cuya definición puede extenderse al álgebra tensorial de la variedad. Obtenemos entonces lo que en topología diferencial se denomina derivación tensorial: una aplicación \scriptstyle \R-lineal sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s), que preserva el tipo tensorial y satisface la regla del producto de Leibniz y que conmuta con las contracciones.

Para definir la derivada de Lie sobre el conjunto de tensores de tipo (r,s) bastará con definir su acción sobre funciones y sobre campos de vectores: Así, si X es un campo diferenciable de vectores, se define la derivada de Lie con respecto a X como la única derivación tensorial tal que:[1]

  •  \mathcal L_Xf = X(f). para toda función diferenciable f.
  •  \mathcal L_XY = [X, Y]. para todo campo diferenciable Y. Donde [,] es el corchete de Lie.

La derivada así definida satisfará automáticamente las propiedades citadas de una derivación tensorial:

  • la regla del producto
\mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT).
  • conmutará con las contracciones.

El espacio vectorial de todas las derivadas de Lie en M forma a su vez un álgebra de Lie infinito dimensional con respecto al corchete de Lie.

Derivada de Lie de campos tensoriales[editar]

En geometría diferencial, si tenemos un tensor diferenciable T de rango (p, q) (es decir una función lineal de secciones diferenciables, α, β, ... del T*M fibrado cotangente y X, Y,... del TM fibrado tangente,

T(α,β...,X,Y ,...)

Tales que para cualesquiera funciones diferenciables

f1...,fp...,fp+q, T(f1α,f2β...,fp+1X,fp+2Y,...) = f1f2... fp+1fp+2... fp+q T(α, β..., X, Y ,...)) y un campo vectorial (sección del fibrado tangente) A diferenciable, entonces la función lineal:

AT)(α, β,..., X, Y,...) ≡ ∇A T(α, β,..., X, Y,...) - ∇T(-,β...,X,Y,...)A(α)-... + T(α, β...,∇XA,Y,...)+...

es independiente de la conexión ∇ que se utiliza, mientras sea libre de torsión, y es, de hecho, un tensor.[2]

Este tensor se llama la derivada de Lie de T con respecto a A.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. O Neill Semiriemaniann geometry. Academic Press, 1983. ISBN 0-12-526740-1 (cap 2)
  2. T. J. Willmore. The Definition of Lie Derivative. Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (Series 2), Volume 12, Issue 01, Jun 1960, pp 27-29 doi: 10.1017/S0013091500025013 [1]