Diferencial (matemática)

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Este artículo habla sobre la definición del diferencial dentro del campo de la geometría diferencial, para otros usos dentro de la matemática vea diferencial (cálculo, desambiguación), para usos más generales vea diferencial (desambiguación)
Diferencial.png

Herramienta matemática que nos permite trabajar sobre espacios tangentes de diferentes variedades diferenciables aprovechado las buenas propiedades de unos bien conocidos sobre otros que casi no conocemos.

Eslabón necesario para construir la teoría de geometría diferencial y generalizar su estudio.

Definición de diferencial[editar]

Sean variedades diferenciables, una aplicación diferenciable y , llamaremos diferencial de a

.

Observaciones

Queda claro que es , ya que es redundante pues hablamos de elementos de y, es decir, derivaciones a precisamente en .

Veamos que está bien definida, es decir, que como se ha requerido:

,
,
y, por tanto, es una derivación; en resumen, el diferencial de una derivación es una derivación.

Veamos finalmente que es -lineal:

, tenemos
  • ,
  • ,
y por tanto, al ser lineal y bien definida, hereda correctamente las propiedades de suma vectorial y producto por escalar para que los elemento obtenidos en , a partir de los elementos de , puedan formar un subespacio vectorial, seria deseable conseguir una base para generar totalmente .

Así pues, tenemos que , como aplicación lineal entre espacios vectoriales, queda totalmente determinada por una matriz.

Propiedad[editar]

Sean variedades diferenciables, , y , entonces tenemos que:

.

Demostración

ComposiciónDiferencial.png
, sucesivamente por definición:
.

Propiedad[editar]

Sea una variedad diferenciable, y , entonces tenemos que:

.

Demostración

,
.

Propiedad[editar]

Sea variedades diferenciables y un difeomorfismo, entonces tenemos que:

es un isomorfismo de -espacios vectoriales.

Demostración

Si es un difeomorfismo entonces tenemos que diferenciable: y .
Bastaría considerar los diferenciales y , usando sucesivamente las propiedades anteriores tenemos:
,
.
Por tanto hemos visto que es un isomorfismo de -espacios vectoriales.