Derivación (matemática)

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La derivación, matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios tangentes sobre variedades diferenciables, sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.

Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.

Definición de derivación[editar]

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y  p \in M , llamaremos derivación en el punto  p_{}^{} a

 \forall \delta_p : \mathcal{F}(M)   \longrightarrow{}  \mathbb{R} aplicación \mathbb{R}-lineal, es decir:
\forall f,g \in \mathcal{F}(M), \forall \lambda \in \mathbb{R},
  •  \delta_p^{}(g+f)= \delta_p(g)+ \delta_p(f)^{},
  •  \delta_p^{}(\lambda f)=\lambda \delta_p(f)^{}.
y tal que  \delta_p(f  \cdot g) =  \delta_p(f)g_{|p} + f_{|p}\delta_p(g),  \forall f,g \in \mathcal{F}(M), es decir, que cumple la regla de Leibniz.

Observación

\mathcal{F}(M) es el conjunto de funciones diferenciables en M_{}^{}, y es un \mathbb{R}-álgebra conmutativa, (es un \mathbb{R}-espacio vectorial).
f_{|p}^{} es equivalente a  f(p)_{}^{} , es decir, f_{}^{} evaluado en el punto p_{}^{}.

Ejemplos de derivación[editar]

La derivada parcial[editar]

Sea  M= \mathbb{R}^n y  p \in M, veamos que la aplicación siguiente es derivación:


\begin{matrix} \frac{{\partial \; \cdot}}{{\partial x_i}}_{|p}: & { \mathcal{F}(M) } & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \;. \\ & {f} & \mapsto & {\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}}_{|p} \end{matrix}


Demostración:

Veamos primero que es \mathbb{R}-lineal, es decir, que \forall f,g \in \mathcal{F}(M) \; y \; \forall \lambda \in \mathbb{R} vemos que:
  • \frac{{\partial (f+g)}}{{\partial x_i}}_{|p}=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}_{|p}+\frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p},
  • \frac{{\partial (\lambda g )}}{{\partial x_i}}_{|p}=\lambda \frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p}.
Veamos finalmente que es una derivación:
\frac{{\partial (f \cdot g)}}{{\partial x_i}}_{|p}=\frac{{\partial f}}{{\partial x_i}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}\frac{{\partial g}}{{\partial x_i}}_{|p}.
Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación.

La derivada direccional[editar]

Sea  M= \mathbb{R}^n ,\; p \in M \; y \; v \in M : || v ||=1, de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:

\begin{matrix} \frac{{\partial \cdot}}{{\partial v}}_{|p}: & { \mathcal{F}(M) } & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \\ & {f} & \mapsto & {\frac{{\partial f}}{{\partial v}}}_{|p} \end{matrix}.

Definiciones[editar]

PlanoTangente.png

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable y  p \in M , llamaremos espacio tangente a M_{}^{} en p_{}^{} al \mathbb{R}-espacio vectorial de las derivaciones de M_{}^{} en p_{}^{}, notado por  \mathcal{T}_p M , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a M_{}^{} en p_{}^{}.

Consecuencias[editar]

Propiedad de la derivación de una función localmente constante[editar]

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,  p \in M ,  \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M y  f  \in \mathcal{F}(M) tal que  \exists{} U_{}^{} entorno abierto en p_{}^{} donde  f(x)= \lambda ,  \forall x \in M , entonces tenemos que  \delta_p^{} f = 0 .

Demostración:

Por linealidad de  \delta_p^{} tenemos
 \delta_p ( f ) = \delta_p ( \lambda ) = \delta_p ( \lambda \cdot 1) =  \lambda \delta_p ( 1 ),
aquí aplicando la condición de derivación a  \delta_p^{} (1) tenemos
 \delta_p (1) = \delta_p (1 \cdot 1) =  \delta_p (1) 1 + 1 \delta_p^{} (1) =   \delta_p (1) + \delta_p^{} (1) ,
de simplificar, este último, resulta  \delta_p^{} (1) = 0 aplicadolo al anterior resulta que  \delta_p^{} ( f ) = 0 .

Ejemplo[editar]

Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase  \mathcal{C}^{ \infty } :

Propiedad de la derivación del producto con la función meseta[editar]

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,  p \in M , \; \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M ,  f  \in \mathcal{F}(M) y  \rho una función meseta asociada a  (p,V)_{}^{} , tenemos que:

 \delta_p^{} (\rho \cdot f) = \delta_p( f ) .

Demostración:

Aplicando la regla de Leibniz tenemos que  \delta_p^{} (\rho \cdot f)= \delta_p^{}(\rho) f(p) + \rho(p) \delta_p(f), por la propiedad anterior tenemos que  \ delta_p^{} (\rho \cdot f)= 0 \cdot f(p) + 1 \cdot \delta_p^{}(f)=\delta_p^{}(f).

Propiedad[editar]

Sea M_{}^{} una variedad diferenciable,  p \in M , \; \forall \delta_p \in \mathcal{T}_p M y  f,g  \in \mathcal{F}(M) tal que  \exists{} V_{}^{} entorno abierto en p_{}^{} donde f_{|V}^{}=g_{|V}, entonces tenemos que  \delta_p^{} ( f ) =  \delta_p ( g ) .

Demostración:

Sea  \rho una función meseta asociada a  (p,V)_{}^{} , tenemos así que  \rho \cdot f = \rho \cdot g_{}^{} en todo  M_{}^{} también  \rho \cdot f,\rho \cdot g \in \mathcal{F}(M) por tanto  \delta_p^{} (\rho \cdot f ) = \delta_p ( \rho \cdot g ) y por la propiedad anterior tenemos que  \delta_p^{} ( f ) =  \delta_p ( g ) .

Bibliografía[editar]

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.