Conjugación (teoría de grupos)

En álgebra abstracta, y más concretamente en teoría de grupos, se denomina conjugación a un tipo de acción de un grupo sobre sí mismo. Un ejemplo de este tipo de operación es la semejanza de matrices.

Sea $(G,\circ )$ un grupo, y sea $g\in G$ uno de sus elementos. Se denomina conjugado de $a$ por $g$ al elemento $b=g^{-1}\circ a\circ g$. Entonces se dice que los elementos $a$ y $b$ son conjugados.

La conjugación como relación

En un grupo, se puede definir la relación:

$\forall a,b\in G:a\sim b\Leftrightarrow b=g^{-1}\circ a\circ g$ para algún $g\in G$.

tal que $a$ está relacionado con $b$ precisamente si $a$ y $b$ son conjugados. La relación así definida es una relación de equivalencia.​

Demostración

La relación $\sim$ es: Reflexiva: $a=e^{-1}\circ a\circ e$ luego $a\sim a$. (donde $e$ es el elemento neutro del grupo). Simétrica: si $a\sim b\Leftrightarrow b=g^{-1}\circ a\circ g$ entonces $(g^{-1})^{-1}\circ b\circ (g^{-1})=a\Leftrightarrow b\sim a$. Transitiva: si $a\sim b\Leftrightarrow b=g_{1}^{-1}\circ a\circ g_{1}$ y $b\sim c\Leftrightarrow c=g_{2}^{-1}\circ b\circ g_{2}$ entonces $c=g_{2}^{-1}\circ (g_{1}^{-1}\circ a\circ g_{1})\circ g_{2}=(g_{1}\circ g_{2})^{-1}\circ a\circ (g_{1}\circ g_{2})$ luego $a\sim c$.

Por tanto, los elementos conjugados de un elemento $a$ forman una clase, llamada clase de conjugación de $a$:​

$[a]=\{x^{-1}ax:x\in G\}$

Acción de grupo

Considérese la acción de $G$ sobre sí mismo

${\begin{array}{rrcl}\phi :&G\times G&\longrightarrow &G\\&(g,a)&\mapsto &b=g^{-1}\circ a\circ g\end{array}}$

que viene dada por la conjugación sucesiva por los diferentes elementos $g\in G$. Bajo este punto de vista:

• la órbita de un elemento $a$ bajo la acción $\phi$ es la clase de conjugación de dicho elemento.
• el estabilizador de un subconjunto bajo la acción $\phi$ es el normalizador de dicho subconjunto. Cuando se trata de un único elemento $a$ decimos que es el centralizador de $a$.

Conjugación de subconjuntos y subgrupos

Dado un subconjunto $S\subseteq G$, se define el conjugado de $S$ por un elemento $g\in G$ como el subconjunto:

$g^{-1}Sg=\{g^{-1}\circ s\circ g:s\in S\}$

En particular, si el subconjunto original es un subgrupo $H\leq G$, entonces el conjugado de $H$ por cualquier elemento $g\in G$ es también un subgrupo.

Referencias

Bibliografía

• Artin, M. (2010). Algebra (2ª edición). Pearson. 
• Gallian, Joseph A. (2012). Contemporary Abstract Algebra (8ª edición). Brooks/Cole. ISBN 1-133-59970-2. 

• Datos: Q77980581