Matriz semejante

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En álgebra lineal, se dice que dos matrices A y B de n-por-n sobre el cuerpo K son semejantes si existe una matriz invertible P de n-por-n sobre K tal que:

P −1AP = B.

Uno de los significados del término transformación de semejanza es una transformación de la matriz A en la matriz B.

En teoría de grupos, la semejanza se llama clase de conjugación.

Propiedades[editar]

Las matrices semejantes comparten varias propiedades:

Hay dos razones para estas características:

  1. dos matrices semejantes pueden pensarse como dos descripciones de una misma transformación lineal, pero con respecto a bases distintas;
  2. la transformación X \mapsto P−1XP es un automorfismo del álgebra asociativa de todas las matrices de n-por-n.

Debido a esto, para una matriz A dada, estamos interesados en encontrar una "forma normal" sencilla B que sea semejante a A: el estudio de A se reduce de esta manera al estudio de la matriz semejante (y más sencilla) B. Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal. No todas las matrices son diagonalizables, pero por lo menos sobre los números complejos (o cualquier cuerpo algebraicamente cerrado), toda matriz es semejante a una matriz en forma de Jordan. Otra forma normal, la forma canónica racional, se aplica en cualquier campo. Observando las formas de Jordan o las formas canónicas racionales de A y B, puede decidirse inmediatamente si A y B son semejantes.

La semejanza de matrices no depende del cuerpo base: si L es un cuerpo conteniendo a K como subcuerpo, y A y B son dos matrices en K, entonces A y B son semejantes como matrices sobre K si y solo si son semejantes como matrices sobre L. Esto es bastante útil: uno puede agrandar en forma segura el cuerpo K, por ejemplo para obtener un cuerpo algebraicamente cerrado; las formas de Jordan pueden computarse sobre el cuerpo grande y puede usarse para determinar si las matrices dadas son semejantes sobre el cuerpo pequeño. Este método puede usarse, por ejemplo, para mostrar que toda matriz es semejante a su traspuesta.

Si en la definición de semejanza, la matriz P puede elegirse para que sea una matriz de permutación, entonces A y B son semejantes en permutación; si P puede elegirse para que sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral establece que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal.

Matrices congruentes[editar]

Otra relación de equivalencia importante para matrices reales es la congruencia.

Dos matrices reales A y B se llaman congruentes si hay una matriz regular real P tal que:

PTAP = B.

Aplicaciones[editar]

Cambios de base[editar]

Recordemos que un endomorfismo es una aplicación lineal entre un mismo espacio vectorial \scriptstyle f:V(K)\longrightarrow V(K), es decir, tal que:

f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+ \mu f(y),\qquad
\forall\lambda\in K, \forall x,y\in V

Entre el espacio vectorial de los endomorfismos \scriptstyle End(V) y el anillo de las matrices cuadradas existe un isomorfismo que, fijada una base en \scriptstyle V(K), asigna una única matriz a cada endomorfismo (por supuesto si se cambia de base, la matriz también cambiará).

Supóngase que se tienen dos bases de \scriptstyle V(K) llamadas \scriptstyle \hat B_{V}=\{\hat v_{k}\},\ B_{V}=\{v_{i}\} de modo que

v_{i}=\sum_ k \Lambda_{ik}\hat v_{k}, \qquad
\hat v_{k}=\sum_i \Lambda_{ki}^{-1}v_{i}

En lo que siguen usaremos el convenio de sumación de Einstein para hacer más ligera la notación. Sean ahora \scriptstyle a_{ij} y \scriptstyle \hat a_{kl} las matrices asociadas al endomorfismo en las respectivas bases de modo que f(v_{i})=a_{ij}v_{j} y f(\hat v_{k})=\hat a_{kl}\hat v_{l}, entonces las matrices se relacionan por:

f(v_{i})=a_{ij}v_{j}\longrightarrow
f(\Lambda_{ik}\hat v_{k})=a_{ij}\Lambda_{il}\hat v_{l}\longrightarrow
\Lambda_{ik}f(\hat v_{k})=a_{ij}\Lambda_{il}\hat v_{l}\longrightarrow
\Lambda_{ik}\hat a_{kl}\hat v_{l}=a_{ij}\Lambda_{il}\hat v_{l}\longrightarrow
\Lambda_{ik}\hat a_{kl}=a_{ij}\Lambda_{il}\longrightarrow
\hat a_{kl}=\Lambda_{ki}^{-1}a_{ij}\Lambda_{il}

es decir hay una relación de similaridad entre ellas.