Completar el cuadrado

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Animación describiendo el proceso de completar el cuadrados.

El método de completar el cuadrado, también llamado completación de cuadrados o compleción[1] de cuadrados, es una técnica de álgebra elemental para convertir la expresión de una función cuadrática, desde su forma canónica:

ax^2+bx+c

a otra equivalente de la forma: [2]

 a(x + h)^2 + k\,

Procedimiento para completar el cuadrado[editar]

En general, los procedimientos para completar el cuadrado consisten en construir, mediante operaciones algebráicas, un trinomio cuadrado perfecto a partir de uno que no lo es, y luego reducir el resultado a un binomio al cuadrado más (o menos) una constante.

Cuando se tiene un trinomio cuadrado perfecto, éste se puede factorizar directamente a un binomio al cuadrado. Por ejemplo, x^2 + 10x + 25 se puede factorizar como \left(x + 5\right)^2.

Si no se tiene un trinomio cuadrado perfecto, como por ejemplo x^2 + 10x + 28, éste se puede manipular algebráicamente para construirlo. Nótese que el término independiente 28 es igual a 25 + 3, Así que el trinomio dado es igual a {\color{Red}x^2 + 10x + 25} + 3, con lo que tenemos un trinomio cuadrado perfecto más 3, que se puede reducir como {\color{Red}\left(x + 5\right)^2} + 3. Esto que acabamos de hacer es uno de los procedimientos para completar el cuadrado.

Abajo se describen en detalle operaciones algebráicas para completar el cuadrado con cualquier trinomio cuadrado dado.

Polinomio de la forma x2 + bx + c[editar]

Descripción Procedimiento
Simbólico
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma x^2 + bx + c x^2 + 10x + 28
Dividimos entre 2 el coeficiente que acompaña a x,
y sumamos y restamos el cuadrado del resultado
x^2 + bx { \color{Red} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 } + c x^2 + 10x {\color{Red} + 25 - 25} + 28
Ahora tenemos un trinomio cuadrado perfecto {\color{Red} \left(x^2 + bx  + \frac{b^2}{2^2} \right) } - \frac{b^2}{2^2} + c {\color{Red} \left(x^2 + 10x + 25 \right) } - 25 + 28
El cual se puede reducir a un binomio al cuadrado,
con los términos x y b/2
{\color{Red}\left(x + \frac{b}{2}\right)^2} - \left( \frac{b}{2} \right)^2 + c {\color{Red}\left(x + 5\right)^2} - 25 + 28
Simplificando \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4} \left(x + 5\right)^2 + 3

Así,  x^2 + bx + c = \left( x + h \right) ^2 + k

donde     h = \frac{b}{2}     y     k = c - \frac{b^2}{4}

Polinomio de la forma ax2 + bx + c[editar]

Descripción Procedimiento
Simbólico
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma ax^2 + bx + c 3x^2 + 24x + 40
Sacamos factor común a, de los términos con x {\color{Red}a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right)} + c {\color{Red}3\left(x^2 + 8x\right)} + 40
Dividimos entre 2 el coeficiente que acompaña a x,
y sumamos y restamos el cuadrado del resultado
a\left( x^2 + \frac{b}{a}x {\color{Red} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 - \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 } \right) + c 3\left(x^2 + 8x {\color{Red}+ 16 - 16 } \right) + 40
Ahora tenemos construido un trinomio cuadrado perfecto a\left( {\color{Red} x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 } - \left( \frac{b}{2a} \right) ^2 \right) + c 3\left( {\color{Red} x^2 + 8x + 16 } - 16 \right) + 40
Multiplicamos por el factor común a, al término que
acabamos de restar, - \left( \frac{b}{2a} \right) ^2, para sacarlo del paréntesis
a\left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} \right) {\color{Red} - \frac{ab^2}{4a^2} } + c 3\left(x^2 + 8x + 16 \right) {\color{Red} - 48 } + 40
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto a {\color{Red} \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} \right) } - \frac{ab^2}{4a^2} + c 3 {\color{Red} \left( x^2 + 8x + 16 \right) } - 48 + 40
El cual se puede reducir a un binomio al cuadrado,
con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2.
a {\color{Red} \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 } - \frac{ab^2}{4a^2} + c 3 {\color{Red} \left( x + 4\right) ^2 } - 48 + 40
Que simplificando queda a \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^2 + c - \frac{b^2}{4a} 3 \left( x + 4\right) ^2 - 8

Así,     ax^2 + bx + c = a \left( x + h \right) ^2 + k

donde     h = \frac{b}{2a}     y     k = c - \frac{b^2}{4a}

Significado geométrico de h y k[editar]

En la función y = (x-2)^2 + 1
h = -2 y k = 1, así, el vértice de la parábola está en las coordenadas (-h, k) = (2, 1)

En la función cuadrática escrita como:

(x+h)^2 + k \quad\text{o}\quad a(x+h)^2 + k

-h y k son respectivamente las coordenadas x y y del vértice de la ecuación cuadrática o parábola. Si en la ecuación cuadrática, a > 0, la parábola abre hacia arriba y k es el punto más bajo de la parábola, y si a < 0, la parábola abre hacia abajo y k es el punto más alto de la parábola.

En general, h es una transformada horizontal y k es una transformada vertical, por lo que la parábola se desplazará, en el plano cartesiano, horizontalmente y verticalmente de acuerdo a los valores de h y k. Con h y k iguales a cero, tenemos la parábola con el vértice en las coordenadas (0, 0). La parábola se desplazará horizontalmente h posiciones en la dirección CONTRARIA a la indicada por h. Así, si h es -3, la parábola se desplazará 3 unidades hacia la derecha, y si h es 5, la parábola se desplazará 5 posiciones hacia la izquierda. Por otro lado, la parábola se desplazará hacia arriba o hacia abajo tantas unidades como indique k. Así, si k es 3, la parábola se desplazará 3 unidades hacia arriba, y si k es -4, la parábola se desplazará 4 unidades hacia abajo.

En el ejemplo de la gráfica, h = -2, y k = 1, así la parábola se desplaza 2 posiciones a la derecha y 1 hacia arriba, quedando su vértice en las coordenadas (-h, k) = (2,1).

Perspectiva geométrica[editar]

Completing the square 307.PNG

Considere completar el cuadrado para la siguiente ecuación:

x^2 + bx = a.\,

Puesto que x2 representa el área de un cuadrado con lados de longitud x, y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x, el proceso de completar el cuadrado se puede ver como una manipulación visual de rectángulos.

Intentos simples de combinar x2 y bx en un cuadrado mayor resulta en una esquina que falta. El término (b/2)2 añadido a cada lado de la ecuación de arriba es precísamente el área de la esquina que falta, de ahí que se le llame "completar el cuadrado".[3]

Algunos usos[editar]

La técnica de completar el cuadrado reduce cualquier problema de polinomio cuadrático a uno de trinomio cuadrado perfecto más una constante.

Completar el cuadrado se utiliza en:


En matemáticas, completar el cuadrado se considera una operación algebraica básica, y con frecuencia se aplica sin comentarios en cualquier cálculo involucrando polinomios cuadráticos. La compleción de cuadrados se utiliza para deducir la fórmula cuadrática.

Ejemplo[editar]

Un ejemplo simple[6] es:

x^2+6x = x^2+6x+9-9 = (x+3)^2-9

Aplicación en cálculo integral. Ahora, considérese el problema de encontrar esta antiderivada:

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}.

El denominador es

9x^2-90x+241=9(x^2-10x)+241.

Sumando (10/2)2 = 25 a x2 - 10x da un cuadrado perfecto x2 - 10x + 25 = (x - 5)2. De lo que resulta

9(x^2-10x)+241=9(x^2-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^2+16.

Sea la integral

\int\frac{dx}{9x^2-90x+241}=\frac{1}{9}\int\frac{dx}{(x-5)^2+(4/3)^2}=\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{4}\arctan\frac{3(x-5)}{4}+C.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. «compleción», Diccionario de la lengua española (22.ª edición), Real Academia Española, 2001, http://lema.rae.es/drae/?val=compleci%C3%B3n 
  2. Kalnin, R.A. : «Álgebra y funciones elementales», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)
  3. http://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare
  4. «Ecuaciones diferenciales elementales/ con aplicaciones», Edwards/ Penney, pp. 307-308. ISBN 0-13-254129-7
  5. Op. cit de Piskunov
  6. Es usable en caso muy particular. Cf. «Cálculo diferencial e integral tomo I», N. Piskunov, 1983, pág.390, § 7.

Enlaces externos[editar]