B-spline

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En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio. Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.[1] El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica.[2] Las B-splines pueden ser evaluadas de una manera numéricamente estable por el algoritmo de Boor. De un modo simplificado, se han creado variantes potencialmente más rápidas que el algoritmo de Boor, pero adolecen comparativamente de una menor estabilidad.[3] [4]

En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior). Una B-spline es simplemente una generalización de una curva de Bézier, que puede evitar el fenómeno Runge sin necesidad de aumentar el grado de la B-spline.

Definición[editar]

Dado m valores reales ti, llamados nudos, con

t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_{m-1}

una B-spline de grado n es una curva paramétrica

\mathbf{S}:[t_0, t_{m-1}] \to \mathbb{R}^2

compuesta por una combinación lineal de B-splines básicas bi,n de grado n

\mathbf{S}(t)= \sum_{i=0}^{m-n-2} \mathbf{P}_{i} b_{i,n}(t) \mbox{ , } t \in [t_{n-1},t_{m-n}].

Los Pi se llaman puntos de control o puntos de Boor. Hay m-(n+1) puntos de control que forman una envoltura convexa.

Las m-(n+1) B-splines básicas de grado n se pueden definir mediante la fórmula de recursión Cox-de Boor

b_{j,0}(t) := \left\{
\begin{matrix} 
1 & \mathrm{si} \quad t_j \leq t < t_{j+1} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.
b_{j,n}(t) := \frac{t - t_j}{t_{j+n} - t_j} b_{j,n-1}(t) + \frac{t_{j+n+1} - t}{t_{j+n+1} - t_{j+1}} b_{j+1,n-1}(t).

Cuando los nudos son equidistantes, la B-spline se dice que es uniforme, de otro modo sería no uniforme. Si dos nudos tj son idénticos, cualquiera de las posibles formas indeterminadas 0/0 se consideran 0.

Nótese que j+n+1 no puede exceder de m-1, lo que limita tanto a j como a n.

B-spline uniforme[editar]

Cuando la B-spline es uniforme, las B-splines básicas para un determinado grado n son sólo copias cambiadas de una a otra. Una alternativa no recursiva de la definición de la B-splines m-n+1 básica es

b_{j,n}(t) = b_n(t - t_j), \qquad\; j = 0, \ldots, m-n-1

con

b_{n}(t) := \frac{n+1}{n} \sum_{i=0}^{n+1} \omega_{i,n}(t - t_i)_+^{n} \,\;

y

\omega_{i,n} := \prod_{j=0, j \neq i}^{n+1} \frac{1}{t_j - t_i} \,\;

dónde

(t - t_i)_+^n \,\;

es la función de potencia truncada definida como

(t-t_i)^{n}_{+} = \left\{\begin{matrix} 
0 & \text{si} \quad t < t_{i} \\
(t-t_i)^{n} & \text{si} \quad t \ge t_{i} 
\end{matrix}
\right.

B-spline cardinal[editar]

Si se define B0 como la función característica de [-\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}], y Bk recursivamente como el producto convolución

B_k := B_{k-1} * B_0, ~k =1, 2, \dots

entonces Bk se llaman B-splines cardinales (centradas). Esta definición se remonta a Schoenberg.

Bk tiene soporte compacto [-\tfrac{k+1}{2}, \tfrac{k+1}{2}] y es una función impar. Como k \rightarrow \infty las B-splines cardinales normalizadas tienden a la función de Gauss.[5]

Notas[editar]

Cuando el número de puntos de control de Boor es el mismo que el grado, la B-Spline degenera en una curva de Bézier. La forma de las funciones base es determinada por la posición de los nudos. Escalar o trasladar el vector de nudo no altera las funciones de base.

El spline está contenido en el casco convexo de sus puntos de control. Una B-spline básica de grado n

b_{i,n}(t)\,\;

es distinta de cero sólo en el intervalo [ti, ti+n+1] esto es

b_{i,n}(t) = \left\{\begin{matrix} 
>0 & \text{si} \quad t_{i} \le t < t_{i+n+1} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.

En otras palabras si manipulamos un punto de control cambiamos sólo el comportamiento local de la curva y no el comportamiento global como con las curvas de Bézier.

La función base se pueda obtener del polinomio de Bernstein.

Ejemplos[editar]

A continuación se muestran una serie de ejemplos de diversos tipos de B-splines.

B-spline constante[editar]

La B-spline constante es la spline más simple. Se define en un solo tramo de nudo y ni siquiera es continua en los nudos. Es sólo la función indicador de los diferentes tramos de nudo.

b_{j,0}(t) = 1_{[t_j,t_{j+1})} =
\left\{\begin{matrix} 
1 & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.

B-spline lineal[editar]

La B-spline lineal se define en dos tramos de nudo consecutivos y es continua sobre los nudos, pero no diferenciable.

b_{j,1}(t) = 
\left\{\begin{matrix} 
\frac{t - t_j}{t_{j+1} - t_j} & \text{si} \quad t_j \le t < t_{j+1} \\
\frac{t_{j+2} - t}{t_{j+2} - t_{j+1}} & \text{si} \quad t_{j+1} \le t < t_{j+2} \\
0 & \text{resto} 
\end{matrix}
\right.

B-spline cuadrática uniforme[editar]

Las B-splines cuadráticas con nudo-vector uniforme es una forma común de B-spline. La función base puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.

b_{j,2}(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}t^2 \\ -t^2 + t + \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}(1-t)^2 \end{cases}

Puesto en forma de matriz, esto es:[6]

 \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
1 & -2 & 1 \\
-2 & 2 & 0 \\
1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \end{bmatrix}
para t \in [0,1], i = 1,2 \ldots m-1

B-spline cúbica[editar]

Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como:

\mathbf{S}_{i} (t) = \sum_{k=0}^3 \mathbf{P}_{i-3+k} b_{i-3+k,3} (t) \mbox{ ; }\ t \in [0,1]

donde Si es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local. Un conjunto de puntos de control sería PP_i^w = ( w_i x_i, w_i y_i, w_i z_i, w_i) donde el w_i es el peso, tirando de la curva hacia el punto de control P_i mientras que aumenta o se desplazan fuera de la curva, a la vez que disminuye.

Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 (S_3,S_4,...,S_m) definidas por m+1 puntos de control (P_0,P_1,...,P_m, m \ge 3) como un B-spline en t, se definiría como:

\mathbf{S}(t) = \sum_{i=0}^{m-1} \mathbf{P}_{i} b_{i,3} (t)

donde i es el número de puntos de control y t es un parámetro global dados los valores de los nudos. Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.

Hay dos tipos de B-spline - uniforme y no uniforme. Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no son, o no necesariamente son, iguales (el vector de nudos de espacios de nudo interiores no son iguales). Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.

B-spline cúbica uniforme[editar]

La B-spline cúbica con vector-nudo uniforme es la forma más usual de B-spline. La función base puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso. Puesto en forma de matriz, esto es:

 \mathbf{S}_i(t) = \begin{bmatrix} t^3 & t^2 & t & 1 \end{bmatrix} \frac{1}{6} \begin{bmatrix}
-1 & 3 & -3 & 1 \\
 3 & -6 &  3 & 0 \\
-3 & 0 & 3 & 0 \\
 1 &  4 &  1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{i-1} \\ \mathbf{p}_{i} \\ \mathbf{p}_{i+1} \\ \mathbf{p}_{i+2} \end{bmatrix}
para t \in [0,1].

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag. pp. 113–114. 
  2. Carl de Boor (1978). A Practical Guide to Splines. Springer-Verlag. pp. 114–115. 
  3. Lee, E. T. Y. (December 1982). «A Simplified B-Spline Computation Routine». Computing (Springer-Verlag) 29 (4):  pp. 365–371. doi:10.1007/BF02246763. 
  4. Lee, E. T. Y. (1986). «Comments on some B-spline algorithms». Computing (Springer-Verlag) 36 (3):  pp. 229–238. doi:10.1007/BF02240069. 
  5. Brinks R: On the convergence of derivatives of B-splines to derivatives of the Gaussian function, Comp. Appl. Math., 27, 1, 2008
  6. Splitting a uniform B-spline curve