Algoritmo símplex

De Wikipedia, la enciclopedia libre
(Redirigido desde «Algoritmo simplex»)
Saltar a: navegación, búsqueda
Un sistema de desigualdades lineales define un poliedro como una región factible. El algoritmo simplex comienza en un vértice y se mueve a lo largo de las aristas del poliedro hasta que alcanza el vértice de la solución óptima.

En optimización matemática, el término algoritmo símplex habitualmente se refiere a un conjunto de métodos muy usados para resolver problemas de programación lineal, en los cuales se busca el máximo de una función lineal sobre un conjunto de variables que satisfaga un conjunto de inecuaciones lineales. El algoritmo simplex primal fue desarrollado por el matemático norteamericano George Dantzig en 1947, y procede examinando vértices adyacentes del poliedro de soluciones. Un algoritmo simplex es un algoritmo de pivote.

Un método llamado de manera similar, pero no relacionado al anterior, es el método Nelder-Mead (1965) o método de descenso (o ascenso) símplex; un método numérico que busca un mínimo (o máximo) local de una función cualquiera examinando en cada paso los vértices de un simplex.

Entrada del problema[editar]

Considerar un problema de programación lineal,

maximizar z=\mathbf{c}^T \mathbf{x}
sujeto a \mathbf{A}\mathbf{x} \le \mathbf{b}, \, \mathbf{x} \ge 0

El algoritmo símplex requiere que el problema de programación lineal esté en la forma aumentada de la programación lineal. El problema puede ser escrito como sigue, en forma de matriz:

Maximizar z en:

  \begin{bmatrix}
    1 & -\mathbf{c}^T & 0 \\
    0 & \mathbf{A} & \mathbf{I}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
    z \\ \mathbf{x} \\ \mathbf{x}_s
  \end{bmatrix} = 
  \begin{bmatrix}
    0 \\ \mathbf{b}
  \end{bmatrix}
 \mathbf{x}, \, \mathbf{x}_s \ge 0

donde x son las variables desde la forma estándar, xs son las variables de holgura introducidas en el proceso de aumentación, c contiene los coeficientes de optimización, describe el sistema de ecuaciones contraídas, y Z es la variable a ser maximizada.

El sistema es típicamente no determinado, desde que el número de variables excede el número de ecuaciones. La diferencia entre el número de variables y el número de ecuaciones nos da los grados de libertad asociados con el problema. Cualquier solución, óptima o no, incluirá un número de variables de valor arbitrario. El algoritmo símplex usa cero como valor arbitrario, y el número de variables con valor cero es igual a los grados de libertad.

Valores diferentes de cero son llamados variables básicas, y valores de cero son llamadas variables no básicas en el algoritmo símplex.

Esta forma simplifica encontrar la solución factible básica inicial, dado que todas las variables de la forma estándar pueden ser elegidas para ser no básicas (cero), mientras que todas las nuevas variables introducidas en la forma aumentada, son básicas (diferentes de cero), dado que su valor puede ser calculado trivialmente (\mathbf{x}_{s\,i} = \mathbf{b}_{j} para ellas, dado que la matriz problema aumentada en diagonal es su lado derecho)

En cada una de las desigualdades que se plantean en el modelo matemático de programación lineal, se plantean desigualdades de <, >, ≤, ≥ o =; estas desigualdades se convierten en igualdades completando con variables de holgura si se trata de menor o igual que, o menor que; en el caso de que sea mayor o igual que o mayor que, se completa con variables de excedente, estas con signo negativo ya que como su nombre lo indica, es una cantidad que esta de excedente y hay que quitar para convertirla en igualdad; en caso se maneje el =, se manejan las variables artificiales.

Conceptos básicos[editar]

Forma estándar

Es la igualación de las restricciones del modelo planteado, así como el aumento de variables de holgura, o bien la resta de variables de exceso.

Ej2.png

Forma canónica

En el método Simplex es de bastante utilidad la forma canónica, especialmente para explorar la relación de dualidad.
Un problema de Programación Lineal se encuentra en la forma canónica si se cumplen las siguientes condiciones:
Para el caso de la forma canónica de maximización:
- La función objetivo debe ser de maximización.
- Las restricciones son del tipo ≤.
- Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.
Para el caso de la forma canónica de la dieta:
- La función objetivo es minimizada.
- Las restricciones son de tipo ≥.
- Las variables de decisión son mayores o iguales a cero.

Ej3.png

Modelo Ampliado[editar]

Cuando se introduce en cada restricción una variable artificial que no contenga una variable de holgura.

Ejemplo de un Modelo de Maximización en su Forma Ampliada

Variables de entrada

Estas suelen encontrarse en un criterio que se conoce como “Condición de optimalidad”, en un modelo, ya sea de optimización o minimización, y se refiere a la variable no básica en el renglón “z” con el coeficiente más negativo, si se trata de una maximización, o el coeficiente más positivo, si se trata de una minimización, la cual, en el la tabla de solución anterior, a excepción de la primer tabla, esta variable era una variable básica.

'Variables de salida

Esta variable es un punto extremo que se encuentra en un criterio conocido como “Condición de factibilidad”, en un modelo, ya sea de optimización o minimización, y se refiere a la variable básica asociada con la mínima razón no negativa con el coeficiente más negativo, si se trata de una maximización, o el coeficiente más positivo, si se trata de una minimización, la cual, en el la tabla de solución siguiente, pasará a ser variable no básica.

Variables básicas Variables no básicas Variable de entrada Variable de salida
A X3, X4, X5, X6 X1, X2 X1 X2
B X3, X4, X5, X1 X6, X2 X2 X3
C X2, X4, X5, X1 X6, X3 X6 X4
D X2, X6, X5, X1 X4, X3 X3 X1
E X2, X6, X5, X3 X4, X1 X4 X2

Variable degenerada

Una variable degenerada es una variable básica que vale 0. Gráficamente esto puede ocurrir cuando más de dos rectas se intersequen en el mismo punto.

Base

Conjunto de variables básicas. En el ejemplo anterior, la base es {X3, X4, X5, X6}

Variable no restringida

Variable artificial

Se usa una variable artificial cuando las restricciones son = y y sucede cuando el origen no se encuentra dentro de la región factible, tratando de llevar el modelo a otra dimensión en la cual el origen si exista en la región.

Es aquella que puede tomar toda clase de valores positivos, cero y negativos puede escribirse como la diferencia de dos variables no-negativas.

Función objetivo:

Define la efectividad del modelo como función de las variables de decisión.

Solución óptima[editar]

Ejemplo gráfico de la solución óptima

Siempre está asociada a un punto extremo de la región factible y satisface todas las restricciones si se evalúa en ellas así como es el punto que en el caso de maximización hace que el valor de z sea el máximo (más grande) y el caso de minimización sea el mínimo (más pequeño).

Solución óptima múltiple[editar]

Existen problemas lineales que no tienen una solución óptima única, sino que al contrario, tienen un número infinito de soluciones.Para detectar una solución múltiple en la tabla óptima, se deberá tener al menos una variable con su Zj-Cj=0 no básica.

Algoritmo del método Simplex[editar]

Este proceso que se repite una y otra vez, siempre inicia en un punto extremo de la región factible que normalmente es el origen, en cada iteración se mueve a otro punto extremo adyacente hasta llegar a la solución óptima.

Los pasos del Método Simplex son los siguientes:

  1. Utilizando la forma estándar, determinar una solución básica factible inicial igualando a las n-m variables igual a cero (el origen).
  2. Seleccionar la variable de entrada de las variables no básicas que al incrementar su valor pueda mejorar el valor en la función objetivo. Cuando no exista esta situación, la solución actual es la óptima; si no, ir al siguiente paso.
  3. Seleccionar la variable de salida de las variables básicas actuales.
  4. Determinar la nueva solución al hacer la variable de entrada básica y la variable de salida no básica, ir al paso 2 (actualizar).

Ejemplo[editar]

Considerando el problema de programación lineal:

Minimiza la siguiente función
Z = -2 x - 3 y - 4 z\,
Sujeta a
\begin{align}
  3 x + 2 y + z &\le 10\\
  2 x + 5 y + 3 z &\le 15\\
  x,\,y,\,z &\ge 0
\end{align}

Se añaden las variables de holgura s y t, que se representan en la tabla canónica


  \begin{bmatrix}
    1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 0 &  0 \\   
    0 & 3 & 2 & 1 & 1 & 0 & 10 \\
    0 & 2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 15
  \end{bmatrix}

donde las columnas 5 y 6 representan las variables básicas s y t y la correspondiente solución básica posible es

x=y=z=0,\,s=10,\,t=15.

Las columnas 2, 3 y 4 pueden ser seleccionadas como columnas pivotes, para este ejemplo se seleccionó la columna 4. Los valores de x resultantes de la elección de las filas 2 y 3 como filas pivotes son 10/1 = 10 y 15/3 = 5 respectivamente. De estos el mínimo es 5, por lo que la fila 3 sería la fila pivote. Operando los pivotes se produce


  \begin{bmatrix}
    1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{11}{3} & 0 & 0 & -\tfrac{4}{3} & -20 \\   
    0 &  \tfrac{7}{3} &   \tfrac{1}{3} & 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} &  5  \\
    0 &  \tfrac{2}{3} &   \tfrac{5}{3} & 1 & 0 &  \tfrac{1}{3} &  5
  \end{bmatrix}

Ahora columnas 4 y 5 representan las variables básicas z y s y la solución óptima correspondiente es

x=y=t=0,\,z=5,\,s=5.

Para el paso siguiente, no hay entradas positivas en la fila objetivo y de hecho

Z = -20 + \tfrac{2}{3} x + \tfrac{11}{3} y + \tfrac{4}{3} t

por lo que el valor mínimo de Z es −20.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]