Optimización (matemática)
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La optimización (también denominada programación matemática) intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un critero determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restriciones significan que no cualquier decisión es posible.
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[editar] Tipos de optimizaciones
Según el nivel de generalidad que tome el problema, será la resolución que se plantee.
[editar] Optimización clásica
Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.
[editar] Optimización con restricciones de desigualdad - optimización no clásica
Si la restricción contiene mayor cantidad de variables que la función objetivo, o la restricción contiene restricciones de desigualdad, existen métodos en los que en algunos casos se pueden encontrar los valores máximos o mínimos.
Si tanto restricciones como función objetivo son lineales (Programación lineal o PL), la existencia de máximo (mínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a la aplicación de unos simples algoritmos de álgebra lineal elemental los llamados método simplex; y método dual. Sin embargo, si estas condiciones no se cumplen, existen, las llamadas condiciones de Khun -Tucker, las cuales en algunos casos, pueden ser utilizables, para probar encontrar puntos críticos, maxímos o mínimos. Sin embargo, esta es un area aún muy poco desarrollada de la matemática, frecuentemente, las condiciones de Khun-Tucker fallan, o no son suficientes, para la existencia de extremos.
[editar] Optimización estocástica
Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.
[editar] Optimización con información no perfecta
En este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. En este campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver el problema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasos los resultados obtenidos.
