Optimización (matemática)

El máximo de un paraboloide.

En matemáticas la optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas matemáticos donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo:

$\begin{matrix} \max(\min) f(x) \\ x \in \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \end{matrix}$

Donde $x = ( x_1 , ..., x_n )$ es un vector y representa variables de decisión, $f(x)$ es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y $\Omega$ es el conjunto de puntos o decisiones factibles o restricciones del problema.

Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones $\Omega$ como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.

$\begin{matrix} g(x_1,...,x_n) & \le & 0 \\ h(x_1,...,x_n) & = & 0 \end{matrix}$

Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un criterio determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restricciones significan que no cualquier decisión es posible.

Tipos de optimizaciones

Según el nivel de generalidad que tome el problema, será la resolución que se plantee.

Optimización clásica

Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, con menor o igual número de variables que la función objetivo entonces, el cálculo diferencial, da la respuesta, ya que solo se trata de buscar los valores extremos de una función.

Optimización con restricciones de desigualdad

Para problemas con restricciones de tipo desigualdad también existen métodos que en muchos casos permiten encontrar los valores máximos o mínimos.

Si tanto restricciones como función objetivo son lineales, el problema se llama de Programación lineal, y habitualmente se aborda aplicando algoritmos basados en el álgebra lineal elemental, como los algoritmos de pivote y en especial los llamados algoritmos simplex primal y dual.

Si estas condiciones no se cumplen, en algunos casos se puede aplicar las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker para encontrar los puntos críticos, que incluyen los máximos y mínimos. No obstante, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker a veces no existen o son insuficientes para hallar extremos.

Optimización estocástica

Cuando las variables del problema (función objetivo y/o restricciones) son variables aleatorias el tipo de optimización realizada es optimización estocástica.

Optimización con información no perfecta

En este caso la cantidad de variables, o más aún la función objetivo puede ser desconocida o también variable. En este campo, la matemática conocida como matemática borrosa[1], está realizando esfuerzos, por resolver el problema. Sin embargo, como el desarrollo de esta área de la matemática es aún demasiado incipiente, son escasos los resultados obtenidos.

Enlaces externos

• Investigación Operativa - El Sitio de Investigación Operativa en Español del Ing. Santiago Javez Valladares-Perú

Véase también

• Categoría:Optimización
• Optimización multiobjetivo
• Eficiencia de Pareto
• Información parcial lineal
• Multiplicadores de Lagrange