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En geometría, el desarrollo de un poliedro es una disposición de aristas que forman polígonos sobre un mismo plano, de forma que no se superponen y que se pueden plegar (por sus aristas) para convertirse en las caras del poliedro. Son una útil herramienta para el estudio de los poliedros y de la geometría del espacio en general, ya que permiten construir modelos físicos de poliedros con materiales tan simples como una cartulina.^[1]

Un ejemplo temprano de desarrollos de poliedros aparece en las obras de Alberto Durero, cuyo libro de 1525 Un curso en el arte de la medición con compás y regla (Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd) incluía el despliegue de los sólidos platónicos y de varios de los sólidos arquimedianos.^[2] Estas construcciones fueron mencionadas con nombre propio por primera vez en 1543 por Augustin Hirschvogel.^[3]

Existencia y unicidad

Pueden existir muchos desarrollos diferentes para un poliedro dado, dependiendo de la elección de qué bordes se unen y cuáles se separan. Los bordes que se cortan de un poliedro convexo para formar un desarrollo deben formar un árbol de expansión del poliedro, pero cortar algunos árboles de expansión puede hacer que el poliedro se solape cuando se despliega, en lugar de formar un desarrollo correcto.^[4] A la inversa, un desarrollo dado puede plegarse en más de un poliedro convexo diferente, según los ángulos en los que se doblan sus bordes y la elección de qué bordes unir.^[5] Si se da un desarrollo junto con un patrón para pegar sus bordes, tal que cada vértice de la forma resultante tenga defecto angular positivo y tal que la suma de estos defectos sea exactamente 4Plantilla:Pi, entonces necesariamente existe exactamente un único poliedro correspondiente al desarrollo dado, de acuerdo con el teorema de unicidad de Alexandrov. Sin embargo, el poliedro formado de esta manera puede tener caras diferentes a las especificadas como parte del desarrollo: algunos de los polígonos del desarrollo pueden tener pliegues a través de ellos y algunos de los bordes entre los polígonos del desarrollo pueden permanecer desplegados. Además, el mismo desarrollo puede tener varios patrones de pegado válidos, lo que da lugar a diferentes poliedros plegados.^[6]

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Todo poliedro convexo tiene al menos un desarrollo?

En 1975, G. C. Shephard se preguntó si cada poliedro convexo tiene al menos un desarrollo o un despliegue sin intersecciones de sus aristas.^[7] Esta pregunta, que también se conoce como la conjetura de Durero, o el problema de desarrollo de Durero, sigue sin respuesta.^[8]^[9]^[10] Existen poliedros no convexos que carecen de desarrollo, aunque se sabe que es posible subdividir las caras de todo poliedro convexo (por ejemplo en un lugar de corte) de modo que el cada uno de los elementos del conjunto de caras subdivididas tenga un desarrollo.^[4] En 2014 Mohammad Ghomi demostró que todo poliedro convexo admite un desarrollo tras aplicarle una transformación afín.^[11] Además, en 2019 Barvinok y Ghomi demostraron que una generalización de la conjetura de Durero falla para las "pseudoaristas",^[12] es decir, un desarrollo de líneas geodésicas que conectan los vértices del poliedro y forman un gráfico con caras convexas.

Una pregunta abierta relacionada, formula la cuestión de si cada desarrollo de un poliedro convexo posee un despliegue, es decir, un movimiento continuo que no se corta a sí mismo desde su estado plano hasta su estado plegado y que mantiene cada cara plana durante todo el movimiento.^[13]

Ruta más corta

El recorrido más corto sobre la superficie entre dos puntos en la superficie de un poliedro corresponde a una línea recta sobre un desarrollo adecuado para el subconjunto de caras atravesadas por el recorrido. El desarrollo tiene que ser tal que la línea recta quede completamente dentro de su interior, y es posible que deban considerarse varios desarrollos distintos para determinar cuál de ellos da el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un cubo, si los puntos están en caras adyacentes, un candidato para el camino más corto es aquel que cruza la arista común. El camino más corto de este tipo se encuentra usando un desarrollo donde las dos caras también son adyacentes. Otros candidatos para el camino más corto son a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambas (de las cuales hay dos), y se pueden usar desarrollos correspondientes para encontrar el camino más corto en cada categoría.^[14]

El problema de la araña y la mosca es un rompecabezas de matemática recreativa que consiste en encontrar el camino más corto entre dos puntos en un paralelepípedo.

Desarrollos de politopos de dimensiones superiores

La cruz de Dalí, uno de los 261 desarrollos posibles del teseracto

Un desarrollo de un polícoro, un politopo de cuatro dimensiones, está compuesto por celdas poliédricas que están conectados por sus caras, de manera que todas se localizan en el mismo espacio tridimensional (de forma análoga a las caras del desarrollo poligonal de un poliedro, que están conectadas por sus aristas y todas están situadas en el mismo plano). El desarrollo del teseracto, el hipercubo de cuatro dimensiones, se usa de manera destacad en una pintura de Salvador Dalí titulada Crucifixión (1954).^[15] El mismo desarrollo del teseracto ocupa un lugar central en la trama del cuento "—And He Built a Crooked House—" de Robert A. Heinlein.^[16]

El número de desarrollos distintos de un hipercubo $n$ -dimensional se puede encontrar combinatoriamente representándolos como un árbol de $2n$ nodos que describen el patrón mediante el cual los pares de caras del hipercubo se pegan para formar un desarrollo, junto con un emparejamiento perfecto en el grafo complemento del árbol que describe los pares de caras que se oponen entre sí en el hipercubo plegado. Usando esta representación, el número de despliegues diferentes para hipercubos de dimensiones 2, 3, 4, ... se han determinado como:

Plantilla:Block indent

Véase también

Referencias

↑ Wenninger, Magnus J. (1971), Polyhedron Models, Cambridge University Press .
↑ Dürer, Albrecht (1525), Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd, Nürnberg: München, Süddeutsche Monatsheft, pp. 139-152 .. English translation with commentary in Strauss, Walter L. (1977), The Painter's Manual, New York .
↑ Friedman, Michael (2018), A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins, Science Networks. Historical Studies 59, Birkhäuser, p. 8, ISBN 978-3-319-72486-7, doi:10.1007/978-3-319-72487-4 Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda).
↑ ^a ^b Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), «Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra», Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306-338 Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda).
↑ Malkevitch, Joseph, «Nets: A Tool for Representing Polyhedra in Two Dimensions», Feature Columns (American Mathematical Society), consultado el 14 de mayo de 2014 .
↑ Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Lubiw, Anna; O'Rourke, Joseph (2002), «Enumerating foldings and unfoldings between polygons and polytopes», Graphs and Combinatorics 18 (1): 93-104, MR 1892436, S2CID 1489, arXiv:cs.CG/0107024, doi:10.1007/s003730200005 .
↑ Shephard, G. C. (1975), «Convex polytopes with convex nets», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 78 (3): 389-403, Bibcode:1975MPCPS..78..389S, MR 0390915, S2CID 122287769, doi:10.1017/s0305004100051860 .
↑ Weisstein, Eric W. «Shephard's Conjecture». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
↑ Moskovich, D. (June 4, 2012), «Dürer's conjecture», Open Problem Garden .
↑ Ghomi, Mohammad (1 de enero de 2018), «Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra», Notices of the American Mathematical Society 65 (1): 25-27, doi:10.1090/noti1609 .
↑ Ghomi, Mohammad (2014), «Affine unfoldings of convex polyhedra», Geom. Topol. 18 (5): 3055-3090, Bibcode:2013arXiv1305.3231G, S2CID 16827957, arXiv:1305.3231, doi:10.2140/gt.2014.18.3055 .
↑ Barvinok, Nicholas; Ghomi, Mohammad (3 de abril de 2019), «Pseudo-Edge Unfoldings of Convex Polyhedra», Discrete & Computational Geometry 64 (3): 671-689, ISSN 0179-5376, S2CID 37547025, arXiv:1709.04944, doi:10.1007/s00454-019-00082-1 .
↑ Miller, Ezra; Pak, Igor (2008), «Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings», Discrete & Computational Geometry 39 (1–3): 339-388, MR 2383765, doi:10.1007/s00454-008-9052-3 .
↑ O’Rourke, Joseph (2011), How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 115-116, ISBN 9781139498548 .
↑ Kemp, Martin (1 January 1998), «Dali's dimensions», Nature 391 (6662): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, S2CID 5317132, doi:10.1038/34063 .
↑ Henderson, Linda Dalrymple (November 2014), «Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension», en Emmer, Michele, ed., Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics, Springer International Publishing, pp. 69-84, doi:10.1007/978-3-319-01231-5_7 .

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Net». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Weisstein, Eric W. «Unfolding». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
Desplegables de politopos regulares 4d
Redes poliédricas editables e imprimibles con una vista 3D interactiva
Modelos en papel de poliedros
Unfolder para Blender
Paquete Unfolding para Mathematica

Datos: Q253829
Multimedia: Polyhedral net / Q253829

[1] Wenninger, Magnus J. (1971), Polyhedron Models, Cambridge University Press .

[2] Dürer, Albrecht (1525), Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd, Nürnberg: München, Süddeutsche Monatsheft, pp. 139-152 .. English translation with commentary in Strauss, Walter L. (1977), The Painter's Manual, New York .

[3] Friedman, Michael (2018), A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins, Science Networks. Historical Studies 59, Birkhäuser, p. 8, ISBN 978-3-319-72486-7, doi:10.1007/978-3-319-72487-4 Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda).

[gfa-4] Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph (2007), «Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra», Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 306-338 Parámetro desconocido |title-link= ignorado (ayuda).

[5] Malkevitch, Joseph, «Nets: A Tool for Representing Polyhedra in Two Dimensions», Feature Columns (American Mathematical Society), consultado el 14 de mayo de 2014 .

[6] Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Lubiw, Anna; O'Rourke, Joseph (2002), «Enumerating foldings and unfoldings between polygons and polytopes», Graphs and Combinatorics 18 (1): 93-104, MR 1892436, S2CID 1489, arXiv:cs.CG/0107024, doi:10.1007/s003730200005 .

[7] Shephard, G. C. (1975), «Convex polytopes with convex nets», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 78 (3): 389-403, Bibcode:1975MPCPS..78..389S, MR 0390915, S2CID 122287769, doi:10.1017/s0305004100051860 .

[8] Weisstein, Eric W. «Shephard's Conjecture». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

[9] Moskovich, D. (June 4, 2012), «Dürer's conjecture», Open Problem Garden .

[10] Ghomi, Mohammad (1 de enero de 2018), «Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra», Notices of the American Mathematical Society 65 (1): 25-27, doi:10.1090/noti1609 .

[11] Ghomi, Mohammad (2014), «Affine unfoldings of convex polyhedra», Geom. Topol. 18 (5): 3055-3090, Bibcode:2013arXiv1305.3231G, S2CID 16827957, arXiv:1305.3231, doi:10.2140/gt.2014.18.3055 .

[12] Barvinok, Nicholas; Ghomi, Mohammad (3 de abril de 2019), «Pseudo-Edge Unfoldings of Convex Polyhedra», Discrete & Computational Geometry 64 (3): 671-689, ISSN 0179-5376, S2CID 37547025, arXiv:1709.04944, doi:10.1007/s00454-019-00082-1 .

[13] Miller, Ezra; Pak, Igor (2008), «Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings», Discrete & Computational Geometry 39 (1–3): 339-388, MR 2383765, doi:10.1007/s00454-008-9052-3 .

[14] O’Rourke, Joseph (2011), How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra, Cambridge University Press, pp. 115-116, ISBN 9781139498548 .

[15] Kemp, Martin (1 January 1998), «Dali's dimensions», Nature 391 (6662): 27, Bibcode:1998Natur.391...27K, S2CID 5317132, doi:10.1038/34063 .

[16] Henderson, Linda Dalrymple (November 2014), «Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension», en Emmer, Michele, ed., Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics, Springer International Publishing, pp. 69-84, doi:10.1007/978-3-319-01231-5_7 .

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-[[Image:Dodecahedron flat.svg|thumb|right|240px|Desarrollo de un [[dodecaedro]]]]
+[[File:Dodecahedron flat.svg|thumb|right|240px|Desarrollo de un [[dodecaedro regular]]]]
+[[File:The 11 cubic nets.svg|thumb|right|240px|Los nueve desarrollos de las seis caras de un cubo]]
-En [[geometría]] el '''desarrollo de un poliedro''' es la sucesión ordenada en un plano de [[Polígono|polígonos]] unidos por sus lados, de forma que se puedan doblar (por los bordes) para formar las caras del [[poliedro]]. Los desarrollos de poliedros son útiles a la hora de estudiar los cuerpos geométricos, ya que gracias a ellos se pueden construir las [[Figura geométrica|figuras geométricas]] utilizando diferentes materiales como por ejemplo papel o cartón.
+En [[geometría]], el '''desarrollo de un poliedro''' es una disposición de [[Arista (geometría)|aristas]] que forman [[polígono]]s sobre un mismo [[Plano (geometría)|plano]], de forma que no se superponen y que se pueden plegar (por sus aristas) para convertirse en las [[Cara (geometría)|caras]] del [[poliedro]]. Son una útil herramienta para el estudio de los poliedros y de la [[geometría del espacio]] en general, ya que permiten construir modelos físicos de poliedros con materiales tan simples como una cartulina.<ref>{{citation|first=Magnus J.|last=Wenninger|author-link=Magnus Wenninger|title=Polyhedron Models|publisher=Cambridge University Press|year=1971}}</ref>
+Un ejemplo temprano de desarrollos de poliedros aparece en las obras de [[Alberto Durero]], cuyo libro de 1525 ''Un curso en el arte de la medición con compás y regla'' (''Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd'') incluía el despliegue de los [[sólidos platónicos]] y de varios de los [[sólidos arquimedianos]].<ref>{{citation|first=Albrecht|last=Dürer|author-link=Albrecht Dürer|title=Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd|location=Nürnberg|year=1525|url=https://archive.org/stream/albrechtdrersun01peltgoog#page/n142/mode/2up|pages=139–152|publisher=München, Süddeutsche Monatsheft}}. English translation with commentary in {{citation|first=Walter L.|last=Strauss|title=The Painter's Manual|location=New York|year=1977}}</ref> Estas construcciones fueron mencionadas con nombre propio por primera vez en 1543 por [[Augustin Hirschvogel]].<ref>{{citation|first= Michael|last=Friedman|publisher=Birkhäuser|year=2018|title=A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins|title-link=A History of Folding in Mathematics|series=Science Networks. Historical Studies|volume=59|isbn=978-3-319-72486-7|doi=10.1007/978-3-319-72487-4|page=8}}</ref>
-Es una cuestión abierta desde hace mucho tiempo si todos los [[poliedro convexo|poliedros convexos]] P (aquellos poliedros cuyos ángulos diedros entre bordes valen 180 grados) tienen desarrollo: si la superficie de P puede ser cortada a lo largo de los bordes y ser desarrollada como un polígono plano (sin solapamiento). (Este contorno a veces se denota como el despliegue del poliedro) Este problema explícito se planteó en un artículo de G. C. Shephard. La historia y los progresos sobre esta cuestión se discutieron en la Parte III de los ''Algoritmos de la Geometría Plegable''. Si la restricción de que los cortes sean sobre los bordes del poliedro permite los cortes a través del interior de las caras, entonces existen varios métodos para cortar y desplegar un poliedro convexo sobre un polígono plano. Por ejemplo, cortar a lo largo del lugar geométrico de un punto de corte sería suficiente.
+==Existencia y unicidad==
-Además, en un desarrollo bien hecho, la ruta más corta (sobre la superficie) entre dos puntos de la superficie de un poliedro se corresponde con una línea recta. Dicha línea debe estar completamente dentro del desarrollo, aunque se pueden considerar diferentes desarrollos para ver cual de ellos ofrece el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un [[cubo]], si los puntos están en caras adyacentes el camino más corto puede ser aquel que cruza el vértice común; en estos casos el camino más largo se obtiene con un desarrollo en el que las dos caras también sean adyacentes. Otros posibles candidatos a ser el camino más largo son aquellos que pasan a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambos, y los desarrollos correspondientes se pueden utilizar para encontrar el camino más corto en cada caso.
+Pueden existir muchos desarrollos diferentes para un poliedro dado, dependiendo de la elección de qué bordes se unen y cuáles se separan. Los bordes que se cortan de un poliedro convexo para formar un desarrollo deben formar un [[árbol de expansión]] del poliedro, pero cortar algunos árboles de expansión puede hacer que el poliedro se solape cuando se despliega, en lugar de formar un desarrollo correcto.<ref name=gfa/> A la inversa, un desarrollo dado puede plegarse en más de un poliedro convexo diferente, según los ángulos en los que se doblan sus bordes y la elección de qué bordes unir.<ref>{{citation|url=https://www.ams.org/featurecolumn/archive/nets.html|title=Nets: A Tool for Representing Polyhedra in Two Dimensions|first=Joseph|last=Malkevitch|work=Feature Columns|publisher=[[American Mathematical Society]]|access-date=2014-05-14}}</ref> Si se da un desarrollo junto con un patrón para pegar sus bordes, tal que cada vértice de la forma resultante tenga [[defecto angular]] positivo y tal que la suma de estos defectos sea exactamente 4{{pi}}, entonces necesariamente existe exactamente un único poliedro correspondiente al desarrollo dado, de acuerdo con el [[teorema de unicidad de Alexandrov]]. Sin embargo, el poliedro formado de esta manera puede tener caras diferentes a las especificadas como parte del desarrollo: algunos de los polígonos del desarrollo pueden tener pliegues a través de ellos y algunos de los bordes entre los polígonos del desarrollo pueden permanecer desplegados. Además, el mismo desarrollo puede tener varios patrones de pegado válidos, lo que da lugar a diferentes poliedros plegados.<ref>{{citation|last1= Demaine|first1= Erik D.|author1-link= Erik Demaine|last2= Demaine|first2= Martin L.|author2-link= Martin Demaine|last3= Lubiw|first3= Anna|author3-link= Anna Lubiw|last4= O'Rourke|first4= Joseph|author4-link= Joseph O'Rourke (professor)|arxiv= cs.CG/0107024|doi= 10.1007/s003730200005|issue= 1|journal= [[ Graphs and Combinatorics]]|mr= 1892436|pages= 93–104|title= Enumerating foldings and unfoldings between polygons and polytopes|volume= 18|year= 2002|s2cid= 1489 }}</ref>
-== Desarrollo de politopos de mayores dimensiones ==
-El concepto geométrico de un desarrollo se puede extender a una [[dimensión]] mayor.
+{{no resuelto|matemática|¿Todo poliedro convexo tiene al menos un desarrollo?}}
-{| class="wikitable"
-|[[Image:tesseract2.svg|180px]]<br/>[[Hipercubo]]
+En 1975, [[Geoffrey Colin Shephard|G. C. Shephard]] se preguntó si cada poliedro convexo tiene al menos un desarrollo o un despliegue sin intersecciones de sus aristas.<ref>{{citation|last= Shephard|first= G. C.|author-link= Geoffrey Colin Shephard|issue= 3|journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|mr= 0390915|pages= 389–403|title= Convex polytopes with convex nets|volume= 78|year= 1975|doi=10.1017/s0305004100051860|bibcode= 1975MPCPS..78..389S|s2cid= 122287769 }}</ref> Esta pregunta, que también se conoce como la conjetura de Durero, o el problema de desarrollo de Durero, sigue sin respuesta.<ref>{{Mathworld|urlname=ShephardsConjecture|title=Shephard's Conjecture|mode=cs2}}</ref><ref>{{citation|url=http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture|title=Dürer's conjecture|work=Open Problem Garden|first=D.|last=Moskovich|date=June 4, 2012}}</ref><ref>{{citation|last=Ghomi|first=Mohammad|date=2018-01-01|title=Dürer's Unfolding Problem for Convex Polyhedra|journal=Notices of the American Mathematical Society|volume=65|issue=1|pages=25–27|doi=10.1090/noti1609}}</ref> Existen poliedros no convexos que carecen de desarrollo, aunque se sabe que es posible subdividir las caras de todo poliedro convexo (por ejemplo en un [[lugar de corte]]) de modo que el cada uno de los elementos del conjunto de caras subdivididas tenga un desarrollo.<ref name=gfa>{{citation|title=Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra|title-link=Geometric Folding Algorithms|first1=Erik D.|last1=Demaine|author1-link=Erik Demaine|first2=Joseph|last2=O'Rourke|author2-link=Joseph O'Rourke (professor)|publisher=Cambridge University Press|year=2007|contribution=Chapter 22. Edge Unfolding of Polyhedra|pages=306–338}}</ref> En 2014 [[Mohammad Ghomi]] demostró que todo poliedro convexo admite un desarrollo tras aplicarle una [[transformación afín]].<ref>{{citation|arxiv=1305.3231|last1=Ghomi|first1=Mohammad|title=Affine unfoldings of convex polyhedra|journal=[[ Geometry & Topology|Geom. Topol.]]|date=2014|volume=18|issue=5|pages=3055–3090|bibcode=2013arXiv1305.3231G|doi=10.2140/gt.2014.18.3055|s2cid=16827957}}</ref> Además, en 2019 Barvinok y Ghomi demostraron que una generalización de la conjetura de Durero falla para las "pseudoaristas",<ref>{{citation|last1=Barvinok|first1=Nicholas|last2=Ghomi|first2=Mohammad|date=2019-04-03|title=Pseudo-Edge Unfoldings of Convex Polyhedra|journal=[[ Discrete & Computational Geometry]]|volume=64|issue=3|pages=671–689|doi=10.1007/s00454-019-00082-1|issn=0179-5376|arxiv=1709.04944|s2cid=37547025}}</ref> es decir, un desarrollo de líneas geodésicas que conectan los vértices del poliedro y forman un gráfico con caras convexas.
-|[[Image:Truncated tesseract net.png|180px]]<br/>[[Hipercubo truncado]]
-|[[Image:Polychoron 24-cell net.png|180px]]<br/>[[Icositetracoron]]
+[[File:Net of dodecahedron.gif|thumb|[[Despliegue (geometría)|Despliegue]] de un [[dodecaedro regular]]]]
-|}
+Una pregunta abierta relacionada, formula la cuestión de si cada desarrollo de un poliedro convexo posee un [[despliegue (geometría)|''despliegue'']], es decir, un movimiento continuo que no se corta a sí mismo desde su estado plano hasta su estado plegado y que mantiene cada cara plana durante todo el movimiento.<ref>{{citation
+|last1= Miller|first1= Ezra
+|last2= Pak|first2= Igor
+|doi= 10.1007/s00454-008-9052-3
+|issue= 1–3
+|journal= [[ Discrete & Computational Geometry]]
+|mr= 2383765
+|pages= 339–388
+|title= Metric combinatorics of convex polyhedra: Cut loci and nonoverlapping unfoldings
+|volume= 39
+|year= 2008}}</ref>
+==Ruta más corta==
+El [[Línea geodésica|recorrido más corto]] sobre la superficie entre dos puntos en la superficie de un poliedro corresponde a una línea recta sobre un desarrollo adecuado para el subconjunto de caras atravesadas por el recorrido. El desarrollo tiene que ser tal que la línea recta quede completamente dentro de su interior, y es posible que deban considerarse varios desarrollos distintos para determinar cuál de ellos da el camino más corto. Por ejemplo, en el caso de un [[cubo]], si los puntos están en caras adyacentes, un candidato para el camino más corto es aquel que cruza la arista común. El camino más corto de este tipo se encuentra usando un desarrollo donde las dos caras también son adyacentes. Otros candidatos para el camino más corto son a través de la superficie de una tercera cara adyacente a ambas (de las cuales hay dos), y se pueden usar desarrollos correspondientes para encontrar el camino más corto en cada categoría.<ref>{{citation|title=How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra|first=Joseph|last=O’Rourke|publisher=Cambridge University Press|year=2011|isbn=9781139498548|pages=115–116|url=https://books.google.com/books?id=EbwNKD0xkUwC&pg=PA115}}</ref>
+El [[problema de la araña y la mosca]] es un rompecabezas de [[matemática recreativa]] que consiste en encontrar el camino más corto entre dos puntos en un paralelepípedo.
+==Desarrollos de politopos de dimensiones superiores==
+[[File:tesseract2.svg|thumb|upright|La [[Policubo|cruz de Dalí]], uno de los 261 desarrollos posibles del [[teseracto]]]]
+Un desarrollo de un [[polícoro]], un [[politopo]] de cuatro dimensiones, está compuesto por [[Cara (geometría)|celdas]] poliédricas que están conectados por sus caras, de manera que todas se localizan en el mismo espacio tridimensional (de forma análoga a las caras del desarrollo poligonal de un poliedro, que están conectadas por sus aristas y todas están situadas en el mismo plano). El desarrollo del teseracto, el [[hipercubo]] de cuatro dimensiones, se usa de manera destacad en una pintura de [[Salvador Dalí]] titulada ''[[Crucifixión (Dalí)|Crucifixión]]'' (1954).<ref>{{citation|last=Kemp|first=Martin|author-link=Martin Kemp (art historian)|title=Dali's dimensions|journal=[[Nature|Nature]]|volume=391|issue= 6662|page=27|date=1 January 1998|bibcode=1998Natur.391...27K|s2cid=5317132|doi=10.1038/34063}}</ref> El mismo desarrollo del teseracto ocupa un lugar central en la trama del cuento [["—And He Built a Crooked House—"]] de [[Robert A. Heinlein]].<ref>{{citation|last=Henderson|first=Linda Dalrymple|author-link=Linda Dalrymple Henderson|editor-last=Emmer|editor-first=Michele|contribution=Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension|date=November 2014|doi=10.1007/978-3-319-01231-5_7|pages=69–84|publisher=Springer International Publishing|title=Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics}}</ref>
+El número de desarrollos distintos de un [[hipercubo]] <math>n</math>-dimensional se puede encontrar combinatoriamente representándolos como un árbol de <math>2n</math> nodos que describen el patrón mediante el cual los pares de caras del hipercubo se pegan para formar un desarrollo, junto con un [[emparejamiento perfecto]] en el [[grafo complemento]] del árbol que describe los pares de caras que se oponen entre sí en el hipercubo plegado. Usando esta representación, el número de despliegues diferentes para hipercubos de dimensiones 2, 3, 4, ... se han determinado como:
+{{block indent|left=1.6|1, 11, 261, 9694, 502110, 33064966, 2642657228, ...<ref>{{cite OEIS|A091159|Número de desarrollos distintos para un n-hipercubo|mode=cs2}}</ref>}}
 ==Véase también==
-* [[Modelo de poliedro]]
+*[[Modelo de poliedro]]
+*[[Modelo de papel]]
+*[[Modelado con cartulina]]
+*[[Mapeo UV]]
+==Referencias==
+{{listaref}}
+==Enlaces externos==
+*{{Mathworld|urlname=Net|title=Net|mode=cs2}}
+*{{Mathworld|urlname=Unfolding|title=Unfolding|mode=cs2}}
+*[https://web.archive.org/web/20110717184828/http://weimholt.com/andrew/polytope.shtml Desplegables de politopos regulares 4d]
+*[http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html Redes poliédricas editables e imprimibles con una vista 3D interactiva]
+*[http://www.korthalsaltes.com/ Modelos en papel de poliedros]
+*[http://celeriac.net/unfolder/ Unfolder] para [[Blender|Blender]]
+*Paquete [http://www.cs.mcgill.ca/~fukuda/download/mathematica/UnfoldPolytope.tar.Z Unfolding] para [[Mathematica]]
 {{Control de autoridades}}
 [[Categoría:Polígonos]]
+[[Categoría:Tipos de polígonos]]
 [[Categoría:Poliedros]]
 [[Categoría:4-politopos]]