Ángulos entre paralelas

Los ángulos entre paralelas establecidos en geometría euclidiana son los ocho ángulos formados por las dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Estableciendo una relación a distancia entre estos ángulos, esta relación permite analizar una infinidad de problemas prácticos, así como definir algunos conceptos de interés en cuanto a congruencia y suplementaridad de ángulos.

Denominación

Ángulos correspondientes

Figura 1: Rectas paralelas m y n, recta transversal t.

Los ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

Ángulos alternos

Son los que se sitúan a distinto lado de la transversal. ejemplo 1 y 7

osea wtf

Alternos externos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos.

Los ángulos alternos externos son congruentes.

Alternos internos

Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos.

Los ángulos alternos internos son congruentes.

Ángulos colaterales internos

Los ángulos colaterales internos​ o conjugados internos​ son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas.

Son ángulos colaterales internos los siguientes ángulos: <4,<5; <3,<6.

Los ángulos colaterales internos son suplementarios.(suman $180^{\circ }$)

Ángulos colaterales externos

Los ángulos colaterales externos​ o conjugados externos​ son los que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Son ángulos colaterales externos los siguientes ángulos: <1,<8; <2,<7.

Los ángulos colaterales externos son suplementarios.(suman $180^{\circ }$)

Ángulos congruentes entre paralelas

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes.

Figura 2: Rectas paralelas a y b, transversal t, ángulos adyacentes β y θ.

Teoremas y resultados relacionados

La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,​ presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.^{[Ver: Bibliografía]} Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,​ si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.

Según cuenta la leyenda, el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de Guiza, alrededor del año 500 a.C.

• 
  Teorema de Desargues.
• 
  Teorema de Tales.
• 
  Triángulos semejantes.
• 
  Triángulos semejantes.

Proposiciones de Euclides

La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre paralelas desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.​

De Los Elementos de Euclides:

Proposición 28 Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.

Proposición 29 Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.

Definición 23 Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Independencia del V postulado

Si los ángulos interiores α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase: Quinto postulado de Euclides).

Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes​) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.

De Los Elementos de Euclides:

Proposición 27 Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.

Proposición 16 En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.

Geometría no-euclidiana

En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre paralelas tienen propiedades diferentes.

Contraejemplos

Geometría elíptica.

Geometría hiperbólica.

Disco de Poincaré.

Véase también

• Postulados de Euclides
• Quinto postulado de Euclides
• Paralelismo
• Perpendicularidad
• Geometría no euclídea
• Ángulo

Relaciones aritméticas entre ángulos:

• Ángulos congruentes
• Ángulos complementarios
• Ángulos suplementarios
• Ángulos conjugados

Relaciones posicionales entre ángulos:

• Ángulos adyacentes
• Ángulos consecutivos
• Ángulos opuestos por el vértice
• Ángulos interiores y exteriores de un polígono

Bibliografía

• Quintero, Ana Helvia (1994). Geometría. UPR. ISBN 0-8477-2345-3. 

• Guerrero G, Ana Berenice (2006). Geometría: desarrollo axiomático. ECOE. 

• Tsijli, Teodora (2006). Geometría Euclídea II. EUNED. ISBN 9977-64-830-1. 

• Polania Sagra, Claudia Marcela; Sánchez Zuleta, Carmen Cecilia (2 de 2007). «3.2». Un acercamiento al pensamiento geométrico (1 edición). Lorenza Correa Restrepo. p. 141. ISBN 9789589812907. 

• Ibáñez Carrasco, Patricia; García Torres, Gerardo (6 de 2006). «1.4». Matemáticas II, Geometría Y Trigonometría (1 edición). Cengage Learning. 

• Landaverde, Felipe de Jesús (1977). Curso de Geometría. Editorial Progreso. p. 46. ISBN 9684361157. 

Enlaces externos

• Pierce, Rod. «Líneas paralelas y pares de ángulos». 
• Transversal and its properties, sitio interactivo, (en inglés).
• Elementos de Euclides.