Elementos de Euclides

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Elementos de Euclides
de Euclides
Los Elementos de Euclides (1576) - Libro I

Portada de la primera versión en inglés, publicada en 1570 por Sir Henry Billingsley.
Género Tratado
Tema(s) Geometría euclídea
Idioma Griego antiguo
Título original Στοιχεῖα
Ciudad Alejandría actualmente Egipto
Fecha de publicación ~300 a. C.
Texto en español Los Elementos en Wikisource
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Los Elementos de Euclides (en griego: Στοιχεῖα , /stoicheia/) y conocido como geometría euclidiana; en griego: Ευκλειδης Γεωμετρια) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría. Aunque la obra era conocida en Bizancio, era desconocida en Europa Occidental hasta alrededores de 1120, cuando el monje inglés Adelardo de Bath la tradujo al Latín a partir de una traducción Árabe. En 1482, Erhard Ratdolt realizó en Venecia la primera impresión latina de la obra.

Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más divulgado en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría.

En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.

Principios fundamentales[editar]

En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones (como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas proposiciones se encuentra una demostración del teorema de Pitágoras.

Las nociones comunes de Los Elementos son:

  1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
  2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
  3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
  4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
  5. El todo es mayor que la parte.

Los postulados de Los Elementos son:

  1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualesquiera.
  2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
  3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
  5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Este último postulado tiene un equivalente, que es el más usado en los libros de geometría:

  • Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela

Cabe señalar que este es el postulado que hace que la geometría sea euclidiana. Negándolo se obtienen las geometrías no-euclidianas.

Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva, al igual que los matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos.

Contenido[editar]

Un fragmento de los Elementos de Euclides hallado en Oxirrinco, datado hacia el año 100 a. C.
El diagrama acompaña la Proposición 5 del Libro II.

A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética.

El contenido de los libros es el siguiente:

Elementos de Euclides / Definiciones (Libro primero)[editar]

  1. Un punto es lo que no tiene partes.
  2. Una línea es una longitud sin anchura.
  3. Los extremos de una línea son puntos.
  4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
  5. Una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura.
  6. Los extremos de una superficie son líneas.
  7. Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las líneas que están en ella.
  8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
  9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
  10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto y la levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está.
  11. Ángulo obtuso es el mayor que un recto.
  12. Ángulo agudo es el menor que un recto.
  13. Un límite es aquello que es extremo de algo.
  14. Una figura es lo contenido por uno o varios límites.
  15. Un círculo es una figura plana comprendida por una línea tal que todas las rectas caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
  16. El punto se llama el "centro" del círculo.
  17. Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y limitado en ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el círculo en dos partes iguales.
  18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia por él cortada. Y el centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.
  19. Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por 3, cuadriláteras las comprendidas por 4, multiláteras las comprendidas por más de 4 rectas.
  20. Entre las figuras triláteras, el triángulo equilátero es la que tiene los tres lados iguales, triángulo isósceles la que tiene dos lados iguales, y el triángulo escaleno la que tiene los tres lados desiguales.
  21. Entre las figuras triláteras, triángulo rectángulo es la que tiene un ángulo recto, obtusángulo la que tiene un ángulo obtuso, acutángulo la que tiene los tres lados agudos.
  22. De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y los lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y trapecios las demás figuras cuadriláteras.
  23. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongado indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Elementos de Euclides / Postulados (Libro primero)[editar]

  1. Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera.
  2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta.
  3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia.
  4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí.
  5. Y que si una recta al incidir sobre 2 rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los menores que dos rectos.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • Gray, Jeremy (1992). «La geometría euclidiana y el postulado de las paralelas». Ideas de espacio. Madrid: Mondadori España, SA. ISBN 84-397-1727-X. 

Enlaces externos[editar]