Diferencia entre revisiones de «Número entero»
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(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 <br/>(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 <br/>(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4<br/>(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7 |
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 <br/>(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 <br/>(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4<br/>(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7 |
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=== Multiplicación === |
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{{definición|En la '''multiplicación''' (o '''división''') de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: |
{{definición|En la '''multiplicación''' (o '''división''') de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera: |
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* El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. |
* El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores. |
Revisión del 02:36 13 dic 2017
Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales , sus inversos aditivos y el cero.[1] Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos.
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
Ciertas magnitudes como la temperatura o la altura usan valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Historia
La primera alusión a los números negativos aparece en textos indios como el Arybhatiya del matemático indio Âryabhata (476-550) donde se definen las reglas de suma y resta. Los números negativos aparecen como representaciones de pagos y los números positivos como ingresos. También se empezaron a usar en China poco después, utilizando números negros para los beneficios y números rojos para las deudas. De donde viene la expresión "estar en números rojos" .
Unos siglos más tarde, en los escritos del matemático persa Abu l-Wafa (940-998), aparecen los productos de números negativos por números positivos. Sin embargo, el número aún permanece unido a las cantidades físicas y el número negativo casi no tiene sentido en la práctica. Al Khuwarizmi (783-850), por ejemplo, en su libro Transposición y reducción prefiere tratar 6 tipos de ecuaciones de segundo grado en lugar de considerar sustracciones.
En Europa, los números enteros aparecen tarde; generalmente atribuimos a Simon Stevin (1548-1620) la famosa regla de los signos para el producto de dos enteros. D'Alembert (1717-1783) mismo en la Encyclopédie considera el número entero como una idea peligrosa.
"Debemos confesar que no es fácil entender el concepto de cantidades negativas, y que algunas personas hábiles incluso han contribuido a confundirlo con las nociones inexactas que les han dado. Decir que la cantidad negativa es menos que nada es expresar algo que no se puede concebir. Aquellos que afirman que 1 no es comparable a -17, y que la relación entre 1 y -1 es diferente de la relación entre -1 y 1, están en un doble error [...] Entonces no hay nada real y absolutamente de cantidad negativa aislada: -3 tomado en abstracto no aporta a nuestro espíritu ninguna idea. "
D'Alembert, Diccionario de Ciencia, Artes y Oficios, vol. 11
Es necesario esperar otros dos siglos y ver el advenimiento del formalismo para ver una construcción formal del conjunto de enteros relativos de clases de equivalencia de pares de números naturales
Es a Richard Dedekind (1831-1916) a quien debemos esta construcción. Él mismo usó la letra K para denotar el conjunto de los enteros. Varias otras convenciones tuvieron lugar, hasta que Nicolas Bourbaki popularizó el uso de la letra Z, inicial del alemán Zahlen (números).
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
- 3 − 5 = ?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar de ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde 1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde 2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 − 1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos («−») delante se obtienen los números negativos:
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Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama números positivos.
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El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados «enteros».
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La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Es decir, todo número que se encuentra ubicado a la derecha es mayor que el número que se encuentra ubicado a la izquierda. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
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Ejemplos. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
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Ejemplos. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números naturales.
Suma
En la suma de dos números enteros, se determina por separado el signo y el valor absoluto del resultado.
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Ejemplos. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
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Ejemplo.
- Propiedad asociativa:
- [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
- (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
- Propiedad conmutativa:
- (+9) + (−17) = −8
- (−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
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Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
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Ejemplos
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
=== Multiplicacion es la suma de un numero mayor o menor ere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.
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Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
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Ejemplos. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
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Ejemplo.
- Propiedad asociativa:
- [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
- (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
- Propiedad conmutativa:
- (−6) × (+9) = −54
- (+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:
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Ejemplo.
- (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
- [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedades algebraicas
- El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de adición y multiplicación, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo; y posee una relación de orden. Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
Véase también
Referencias
- ↑ Arias Cabezas, José María; Maza Sáez, Ildefonso (2008). «Aritmética y Álgebra». En Carmona Rodríguez, Manuel; Díaz Fernández, Francisco Javier, eds. Matemáticas 1. Madrid: Grupo Editorial Bruño, Sociedad Limitada. p. 14. ISBN 9788421659854.
Bibliografía
- Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006). Mathematics. Applications and Concepts. Course 2 (en inglés). McGraw-Hill. p. 21119. ISBN 0-07-865263-4.
Enlaces externos
- Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre número entero.