Teselado

Un teselado visto en el pavimento de una calle

Teselado hexagonal de un piso en Roma

Ejemplo de pavimento teselado natural en la península Tasman, Tasmania, Australia.

son mucho maicra 

Los términos teselaciones y teselado​ hacen referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. Que no queden espacios.
2. Que no se superpongan las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselados con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie.

Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

• Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.
• Arquímedes, en el siglo III a. C., hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.
• Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra Harmonice mundi, de 1619. Además, realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.
• Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan, el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov y la psicóloga Camila Rial estudiaron completamente las simetrías del plano, e iniciaron así el estudio sistemático y profundo de los teselados.
• Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972), quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió los teselados hiperbólicos, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra, en Granada. Llegó a un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

Ángulos que concurren a un vértice

Teselados regulares

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares.

En cada vértice la suma de ángulos es de 360º, para que no queden espacios:

• 
  Triángulos equiláteros
• 
  Cuadrados
• 
  Hexágonos

Ejemplo: Los cuadrados, al tener ángulos de 90°, pueden encajar cuatro por vértice y teselar localmente el entorno de dicho vértice.

Teselados semirregulares

Son aquellos que contienen dos o más polígonos regulares en su formación.

Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades:

1. Está formado sólo por polígonos regulares.
2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.
3. Sólo existen ocho teselados semirregulares.

• 
  4 8 8
• 
  3 3 3 4 4
• 
  3 3 4 3 4
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  3 3 3 3 6
• 
  3 12 12
• 
  3 4 6 4
• 
  3 6 3 6
• 
  4 6 12

Teselados con figuras semi-regulares

• 
  4 8 8
• 
  3 3 4 3 4
• 
  3 3 3 3 6
• 
  3 12 12
• 
  3 4 6 4
• 
  3 6 3 6
• 
  4 6 12

Teselados irregulares

Son aquellos formados por polígonos no regulares, pero nunca dejan espacios o fisuras.

Cuadriláteros

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo deben prolongarse sus lados paralelos y construirse los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar, con el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible.

Diagrama de cuadrilátero que tesela

Triángulos

Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente. En general, cualquier triangulo tesela al construir un paralelogramo de la misma manera.

Diagrama de triángulo que tesela

Hexágonos

Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. Otros hexágonos no regulares no teselan el plano.

Teselado de El Cairo

Teselado de El Cairo, Egipto.

Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto, y en el arte islámico; de ahí su nombre. Este pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°. Al igual que para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Polígonos cóncavos

• 
  Flecha derecha
• 
  Cruz griega
• 
  Ángulo himterk
• 
  Chevron ayaoku-landt

Construcción de teselados

Método "Quita y ponla y remoja"

Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con estos métodos.

Teselados e isometría

A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.

Notación

La notación comúnmente empleada para identificar los distintos tipos de teselados se debe a A. P. Rollett y Henry Martyn Cundy. En su libro Modelos matemáticos (1951), los autores proponen una nomenclatura consistente en enumerar en el sentido de las agujas del reloj y, separados mediante puntos, los lados de los polígonos que rodean cada vértice. De esta forma, la nomenclatura de los teselados regulares sería 3.3.3.3.3.3 en el caso de triángulos equiláteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formado mediante cuadrados y, finalmente, para un teselado compuesto de hexágonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo de acortar la notación, se acepta que, cuando el mismo polígono rodea en varias ocasiones el mismo vértice, se indica mediante un superíndice el número de veces que esto sucede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita de los teselados regulares pasará a ser 3⁶, 4⁴ y 6³, respectivamente.

Originalmente, la notación fue concebida únicamente para describir teselados regulares pero, en la actualidad, su uso se ha extendido igualmente a teselados semi-regulares. La nomenclatura de los ocho teselados semi-regulares existentes es la que aparece en el apartado correspondiente. Del mismo modo, también se acepta el uso de esta notación para teselados compuestos por polígonos regulares en los que no todos los vértices están rodeados por los mismos polígonos.​

Teselados y mallas de doble capa

Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la que los nudos se disponen en dos capas o superficies, generalmente paralelas entre sí, y se unen mediante barras situadas bien en uno de los dos planos anteriormente mencionados o en el espacio situado entre ellos. Así, se distingue entre cordón inferior, cordón superior y cordón diagonal.

Cada uno de los cordones anteriormente mencionados, que compone una malla de doble capa, puede representarse como un teselado, de forma que toda malla de doble capa resulta de la combinación de tres teselados (inferior, superior, diagonal).​

Véase también

• Maurits Cornelis Escher
• friso o teselación longitudinal
• polígonos de Thiessen
• teselado de El Cairo
• teselación de Cossers
• transformaciones isométricas

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Teselado.
• Sitio web oficial de M. C. Escher
• 14 pentágonos que teselan el plano
• Módulos y redes y Teselación en laslaminas.es Apuntes sobre teselación, módulos y redes en diseño