Usuario:Martinez62/Euclid–Euler theorem
El teorema de Euclides–Euler es un teorema de la teoría de números que relaciona los números perfectos con los números primos de Mersenne. Afirma que un número par es perfecto si y sólo si tiene la forma 2p−1(2p − 1), donde 2p − 1 es un número primo. El teorema lleva el nombre de los matemáticos Euclides y Leonhard Euler, que demostraron respectivamente los aspectos "si" y "sólo si" del teorema.
Se ha conjeturado que existen infinitos números primos de Mersenne. Aunque la verdad de esta conjetura sigue siendo desconocida, es equivalente, por el teorema de Euclides-Euler, a la conjetura de que hay infinitos números perfectos pares. Sin embargo, también se desconoce si existe incluso un único número perfecto impar.[1]
Teorema y ejemplos
[editar]Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propios, los números que son menores que él y lo dividen en partes iguales (con resto cero). Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3, que suman 6, por lo que 6 es perfecto.
Un número primo de Mersenne es un número primo de la forma Mp = 2p − 1, uno menos de una potencia de dos. Para que un número de esta forma sea primo, el propio p debe ser también primo, pero no todos los primos dan lugar a primos de Mersenne de esta forma. Por ejemplo, 23 − 1 = 7 es un primo de Mersenne, pero 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 no lo es.
El teorema de Euclides–Euler afirma que un número natural par es perfecto si y sólo si tiene la forma 2p−1Mp, donde Mp es un primo de Mersenne.[1] El número perfecto 6 proviene de p = 2 de este modo, ya que 22−1M2 = 2 × 3 = 6, y el primo de Mersenne 7 corresponde de la misma manera al número perfecto 28.
Historia
[editar]Euclides probó que 2p−1(2p − 1) es un número par perfecto siempre que 2p − 1 es primo. Este es el último resultado sobre la teoría de números en los Elementos de Euclides; los libros posteriores de los Elementos tratan de los números irracionales, geometría sólida, y el número áureo. Euclides expresa el resultado afirmando que si una serie geométrica finita que comienza en 1 y tiene razón 2 tiene una suma prima q, entonces esta suma multiplicada por el último término t de la serie es un número perfecto. Expresado en estos términos, la suma q de la serie finita es el primo de Mersenne 2p − 1 y el último término t de la serie es la potencia de dos 2p−1. Euclides demuestra que qt es perfecto observando que la serie geométrica de razón 2 que empieza en q, con el mismo número de términos, es proporcional a la serie original; por tanto, como la serie original suma q = 2t − 1, la segunda serie suma q(2t − 1) = 2qt − q, y la suma de las dos series es 2qt, el doble del número perfecto supuesto. Sin embargo, estas dos series son disjuntas entre sí y (por ser q primo) agotan todos los divisores de qt, por lo que qt tiene divisores que suman 2qt, demostrando que es perfecto.[2]
Más de un milenio después de Euclides, Alhazen, hacia el año 1000 de nuestra era, conjeturó que cualquier número perfecto par es de la forma 2p−1(2p − 1) donde 2p − 1 es primo, pero no pudo demostrar este resultado.[3] No fue hasta el siglo XVIII, más de 2.000 años después de Euclides,[4] cuando Leonhard Euler demostró que la fórmula 2p−1(2p − 1) da lugar a todos los números perfectos pares.[1][5] Así pues, existe una relación de uno a uno entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne; cada primo de Mersenne genera un número perfecto par, y viceversa. Después de la prueba de Euler del teorema de Euclides-Euler, otros matemáticos han publicado diferentes pruebas, como Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher, and Wayne L. McDaniel. La prueba de Dickson, en particular, se ha utilizado habitualmente en los libros de texto.[6]
Este teorema se incluyó en una lista web de los "100 mejores teoremas matemáticos", que data de 1999, y que más tarde fue utilizada por Freek Wiedijk como benchmark para probar la potencia de diferentes asistentes de demostración . En 2021, la demostración del teorema de Euclides-Euler se había formalizado en 5 de los 10 asistentes de demostración registrados por Wiedijk.[7]
Demostración
[editar]La prueba de Euler es breve [1] y depende del hecho de que la función de suma de divisores σ es multiplicativa; es decir, si a y b son dos enteros cualesquiera primos entre sí, entonces σ(ab) = σ(a)σ(b). Para que esta fórmula sea válida, la suma de los divisores de un número debe incluir el propio número, no sólo los divisores propios. Un número es perfecto si y sólo si su suma de divisores es el doble de su valor.
Suficiencia
[editar]Un sentido del teorema (la parte ya demostrada por Euclides) se deduce inmediatamente de la propiedad multiplicativa: todo primo de Mersenne da lugar a un número perfecto par. Cuando 2p − 1 es primo, Los divisores de 2p−1 son 1, 2, 4, 8, ..., 2p−1. La suma de estos divisores es una serie geométrica cuya suma es 2p − 1. Luego, como 2p − 1 es primo, sus únicos divisores son 1 y él mismo, así que la suma de sus divisores es 2p.
Combinando estas expresiones, Por tanto, 2p−1(2p − 1) es perfecto.[8][9][10]
Necesidad
[editar]En el otro sentido, supongamos que se ha dado un número perfecto par, y lo factorizamos parcialmente como 2kx, donde x es impar. Para que 2kx sea perfecto, la suma de su divisores tiene que ser dos veces su valor:
|
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(∗) |
El factor impar 2k+1 − 1 en el lado derecho de (∗) es al menos 3, y tiene que dividir a x, el único factor impar en el lado izquierdo, así que y = x/(2k+1 − 1) es un divisor propio de x. Dividiendo ambos lados de (∗) por el factor común 2k+1 − 1 y teniendo en cuenta los divisores conocidos x e y de x se obtiene:
otros divisoresotros divisores
Para que esta igualdad sea cierta, no puede haber otros divisores. Por tanto, y tiene que valer 1, y x tiene que ser un número primo de la forma 2k+1 − 1.[8][9][10]
Referencias
[editar]- ↑ a b c d Stillwell, John (2010), Mathematics and Its History, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 40, ISBN 978-1-4419-6052-8..
- ↑ Euclides (1956), The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX) (2ª edición), Dover, pp. 421-426. Ver en particular Prop. IX.36.
- ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Haytham/.
- ↑ Pollack, Paul; Shevelev, Vladimir (2012), «On perfect and near-perfect numbers», Journal of Number Theory 132 (12): 3037-3046, MR 2965207, S2CID 13607242, arXiv:1011.6160, doi:10.1016/j.jnt.2012.06.008.
- ↑ Euler, Leonhard (1849), «De numeris amicibilibus» [On amicable numbers], Commentationes arithmeticae (en latin) 2, pp. 627-636.. Leído por primera vez ante la Berlin Academy el 23 de febrero de 1747, y publicado de modo póstumo. Ver en particular la sección 8, p. 88.
- ↑ Cohen, Graeme L. (March 1981), «Even perfect numbers», The Mathematical Gazette 65 (431): 28-30, JSTOR 3617930, doi:10.2307/3617930.
- ↑ Wiedijk, Freek, Formalizing 100 Theorems, Radboud University Institute for Computing and Information Sciences, consultado el 10 de julio de 2021.
- ↑ a b Gerstein, Larry (2012), Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, Theorem 6.94, p. 339, ISBN 978-1-4614-4265-3.
- ↑ a b Caldwell, Chris K., «A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime», Prime Pages, consultado el 2 de diciembre de 2014..
- ↑ a b Travaglini, Giancarlo (2014), Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, London Mathematical Society Student Texts 81, Cambridge University Press, pp. 26-27, ISBN 978-1-107-04403-6..