En matemáticas, se dice que una ecuación diferencial es lineal si lo es respecto a la función incógnita y sus derivadas. Puede ser lineal tanto una ecuación diferencial ordinaria (una sola variable independiente), como una ecuación en derivadas parciales (dos o más variables independientes). Se caracterizan por tener soluciones que se pueden obtener mediante combinaciones lineales de otras soluciones, formando así un espacio vectorial (en el caso homogéneo) o afín (no homogéneo), propiedad que no cumplen las ecuaciones diferenciales no lineales.
Una ecuación diferencial lineal tiene forma de:
con
lineal respecto a la función incógnita
y sus derivadas
. Escrito de otra forma, se puede expresar como:
donde los coeficientes
y
son funciones diferenciales arbitrarias no necesariamente lineales, y
son las derivadas de la función incógnita
en la variable
. El orden de la ecuación diferencial viene dado por el mayor entero no negativo
tal que la función
no sea idénticamente nula. Si
, entonces la ecuación diferencial lineal se llama homogénea y en caso contrario no homogénea.
Un operador lineal diferencial es un isomorfismo que actúa sobre funciones diferenciables como combinación lineal de sus derivadas. Utilizando la misma notación que anteriormente, se define como una función
, con
tal que
o bien
donde
y
son las derivadas sucesivas de
.
Se llama lineal debido a que verifica que, para todo
Ecuación lineal de primer orden
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Las Ecuaciones diferenciales de primer orden se caracterizan por ser de la forma:
donde
y
son funciones continuas en un intervalo abierto
, y el valor inicial es
.
La solución de esta ecuación viene dada por:
Resolución detallada
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Es posible encontrar una forma explícita para las soluciones de esta ecuación, la idea consiste en encontrar una función que nos permita transformar
en la derivada de un producto.
Para ello se necesita que . La función con su derivada cumple eso.
Ahora si se multiplica la ecuación diferencial por obtenemos:
Además, la derivada de viene dada por:
Las dos últimas ecuaciones equivalen a:
Finalmente, todas las soluciones de la ecuación diferencial pueden ser calculadas usando la expresión:
|
Ejemplo
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Dada la siguiente ecuación:
donde .
Se define y que son funciones continuas para .
De la parte anterior se tiene la siguiente ecuación para y:
Substituyendo f y g en la ecuación se obtiene (nótese que ):
![{\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=e^{-\int _{x_{0}}^{x}{\frac {1}{t}}dt}({\int _{x_{0}}^{x}{3se^{\int _{x_{0}}^{s}{\frac {1}{t}}dt}}ds}+y_{0})\\&=e^{-ln(x)+ln(x_{0})}({\int _{x_{0}}^{x}{3se^{ln(s)-ln(x_{0})}}ds}+y_{0})\\&={\frac {x_{0}}{x}}({\int _{x_{0}}^{x}3s^{2}{\frac {1}{x_{0}}}ds}+y_{0})\\&={\frac {x_{0}}{x}}({\frac {1}{x_{0}}}(x^{3}-x_{0}^{3})+y_{0})\\&=x^{2}+{\frac {x_{0}y_{0}-x_{0}^{3}}{x}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c309ce7050f35bf7bf94afe02d547cdaecb04dec)
donde .
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Simmons, G. F. (2016). Differential equations with applications and historical notes. CRC Press.
Blanchard,P., Devaney, R.L., \& Hall, G.R. (2012). Differential equations. Cengage Learning.